Les angles congruents sont des angles qui ont une mesure égale. Ainsi, tous les angles ayant une mesure égale seront appelés angles congruents. On les observe partout, par exemple, dans les triangles équilatéraux, les triangles isocèles ou lorsque qu’une droite transversale coupe deux droites parallèles. Apprenons-en davantage sur la congruence des angles ainsi que sur leur construction dans cet article.
Qu’est-ce que les angles congruents ?
En mathématiques, la définition des angles congruents est « les angles qui ont une mesure égale sont appelés angles congruents ». En d’autres termes, des angles égaux sont des angles congruents. Cela est représenté par le symbole « ≅ », donc si nous voulons représenter ∠A est congruent à ∠X, nous l’écrirons comme ∠A ≅ ∠X. Regardons un exemple d’angles congruents ci-dessous.
Exemple d’angles congruents
Dans l’image ci-dessus, les deux angles ont la même mesure (60∘ chacun). Ils peuvent se superposer complètement. Ainsi, selon la définition, nous pouvons dire que les deux angles donnés sont des angles congruents.
Théorème des angles congruents
Il existe de nombreux théorèmes basés sur les angles congruents. En utilisant le théorème des angles congruents, nous pouvons facilement déterminer si deux angles sont congruents ou non. Ces théorèmes sont énumérés ci-dessous :
- Théorème des angles opposés par le sommet
- Théorème des angles correspondants
- Théorème des angles alternes-internes
- Théorème des suppléments congruents
- Théorème des compléments congruents
Commençons par comprendre chacun des théorèmes en détail ainsi que sa preuve.
Théorème des angles opposés par le sommet
Selon le théorème des angles opposés par le sommet, les angles opposés par le sommet sont toujours congruents. Vérifions sa preuve.
Énoncé : Les angles opposés par le sommet sont congruents.
Preuve : La preuve est simple et est basée sur les angles droits. Nous savons déjà que les angles sur une ligne droite s’additionnent à 180°.
Ainsi dans la figure ci-dessus :
| Énoncé | Raison |
|---|---|
| ∠1+∠2 = 180° | Angles linéaires |
| ∠1+∠4 = 180° | Angles linéaires |
| ∴ ∠1+∠2 = 180∘ = ∠1+∠4 | En égalant les deux équations ci-dessus |
| ∴ ∠1+∠2 =∠1+∠4 | Des quantités égales à la même quantité sont égales entre elles. (Transitive: si a=b et b=c cela implique a=c) |
| ∴ ∠2 =∠4 | Si des égales sont soustraites des égales, les différences sont égales. (En éliminant ∠1 des deux côtés) |
| ∠1=∠3 | De même, nous pouvons le prouver pour ∠1 et ∠3 |
Conclusion : Les angles opposés par le sommet sont toujours des angles congruents.
Le Théorème des Angles Alternes-Internes
Lorsqu’une ligne transversale intersecte deux lignes parallèles, chaque paire d’angles alternes-internes est congruente.
La Congruence des Angles Alternes-Internes
Référez-vous à la figure ci-dessus. Nous avons : ∠1 = ∠5 (angles correspondants) ∠3 = ∠5 (angles opposés par le sommet) Ainsi, ∠1 = ∠3 De même, nous pouvons prouver la congruence des trois autres paires d’angles alternes-internes.
Le Théorème des Angles Supplémentaires Congruents
Les angles supplémentaires sont ceux dont la somme est égale à 180°. Ce théorème énonce que des angles supplémentaires à un même angle sont des angles congruents, qu’ils soient adjacents ou non.
La Congruence des Angles Supplémentaires
Nous pouvons prouver ce théorème en utilisant la propriété des angles linéaires comme suit : ∠1 + ∠2 = 180° (angles linéaires) ∠2 + ∠3 = 180° (angles linéaires) A partir de ces deux équations, nous obtenons ∠1 = ∠3. ∴ Des angles supplémentaires à un même angle sont des angles congruents.
Le Théorème des Angles Complémentaires Congruents
Les angles complémentaires sont ceux dont la somme est égale à 90°. Ce théorème énonce que des angles complémentaires à un même angle sont des angles congruents, qu’ils soient adjacents ou non.
La Congruence des Angles Complémentaires
Nous pouvons facilement prouver ce théorème car les deux angles formés sont des angles droits :
∠a + ∠b = 90° (∵∠a et ∠b forment un angle droit)
∠a + ∠c = 90° (∵∠a et ∠c forment un angle droit)
Ainsi, à partir de ces deux équations, nous obtenons ∠b ≅ ∠c.
∴ Deux angles complémentaires à un même angle sont
Théorème des Angles Correspondants
Le théorème des angles correspondants nous dit que lorsque deux droites parallèles sont intersectées par une troisième droite, les angles qui occupent la même position relative à chaque intersection sont appelés angles correspondants l’un à l’autre.
Quand une transversale intersecte deux droites parallèles, les angles correspondants sont toujours congrus entre eux. Dans la figure ci-dessous, ∠1 = ∠2. C’est un postulat, donc nous n’avons pas besoin de le prouver. Il est toujours considéré comme vrai sans preuve.
Théorème des Angles Alternes-Internes
Lorsqu’une transversale intersecte deux droites parallèles, chaque paire d’angles alternes-internes sont congrus.
Référez-vous à la figure ci-dessus. Nous avons :
- ∠1 = ∠5 (angles correspondants)
- ∠3 = ∠5 (angles opposés par le sommet)
Ainsi, ∠1 = ∠3
De même, nous pouvons prouver les trois autres paires d’angles alternes-internes congrus.
Théorème des Angles Supplémentaires Congrus
Les angles supplémentaires sont ceux dont la somme est de 180°. Ce théorème affirme que les angles supplémentaires au même angle sont des angles congrus, qu’ils soient adjacents ou non.
Nous pouvons prouver ce théorème en utilisant la propriété de la paire linéaire d’angles, comme :
- ∠1+∠2 = 180° (paire linéaire d’angles)
- ∠2+∠3 = 180° (paire linéaire d’angles)
À partir des deux équations ci-dessus, nous obtenons ∠1 = ∠3.
∴ Les angles supplémentaires au même angle sont des angles congrus.
Théorème des Angles Complémentaires Congrus
Les angles complémentaires sont ceux dont la somme est de 90°. Ce théorème affirme que les angles qui complètent le même angle sont des angles congrus, qu’ils soient adjacents ou non. Comprenons-le à l’aide de l’image ci-dessous.
Nous pouvons facilement prouver ce théorème car les deux angles formés sont des angles droits.
- ∠a+∠b = 90° (∵∠a et ∠b forment un angle de 90°)
- ∠a+∠c = 90° (∵∠a et ∠c forment un angle de 90°)
Source de référence : https://en.wikipedia.org/wiki/Congruence_(geometry)
Construction d’un angle congruent à l’angle donné
Dans la géométrie, vous avez appris à construire deux angles congruents avec n’importe quelle mesure. Mais que se passe-t-il si un angle est donné et que nous devons construire un angle congruent à celui-ci ? Apprenons-le étape par étape.
Étape 1 – Dessinez une ligne horizontale de n’importe quelle mesure et nommez-la YZ.
- Pour commencer, nous dessinons une ligne horizontale de n’importe quelle mesure et la nommons YZ.
Étape 2 – Tracez un arc en gardant la pointe du compas au point B de l’angle donné et en utilisant BC comme base, puis nommez ce point D.
- Nous plaçons la pointe du compas sur le point B de l’angle donné et dessinons un arc en utilisant BC comme base. Nous nommons ce point D.
Étape 3 – Tracez un arc de la même largeur en gardant la pointe du compas au point Y et nommez le point sur la ligne YZ O.
- Nous dessinons un arc de la même largeur en gardant la pointe du compas au point Y et nommons le point sur la ligne YZ O.
Étape 4 – Mesurez l’arc de D à l’intersection de l’arc au segment AB.
- Nous mesurons l’arc de D au point d’intersection de l’arc au segment AB en gardant la pointe du compas sur le point D.
Étape 5 – Tracez un arc de la même largeur en gardant la pointe du compas au point O, puis nommez le point d’intersection avec l’arc tracé à l’étape 3 X.
- Nous traçons un arc de la même largeur en gardant la pointe du compas au point O et marquons un point d’intersection sur l’arc tracé à l’étape 3. Nous nommons ce point X.
Étape 6 – Tracez une ligne reliant les points X et Y.
- Nous traçons une ligne reliant les points X et Y pour obtenir l’angle congruent à l’angle donné. Ainsi, nous obtenons ∠ABC ≅ ∠XYZ, ce qui satisfait la définition de l’angle congruent.
C’est ainsi que nous pouvons construire un angle congruent à l’angle donné.
Astuces et conseils pour les angles congruents:
Les angles congruents:
Les angles congruents sont simplement un autre nom pour les angles égaux.
Angles opposés par le sommet:
Tous les angles opposés par le sommet sont des angles congruents.
Angles alternes et correspondants:
Tous les angles alternes et correspondants formés par l’intersection de deux droites parallèles et d’une transversale sont des angles congruents.
Définition:
Conformément à la définition des angles congr
Que signifient les angles congruents ?
Définition des angles congruents
Deux angles sont dits congruents s’ils ont la même mesure et peuvent être superposés sans laisser d’espace ou de chevauchement. Le symbole des angles congruents est ≅.
Conditions requises pour les angles congruents
Il n’y a qu’une seule condition requise pour que les angles soient congruents : ils doivent avoir la même mesure.
Les angles congruents sont-ils égaux à 180 degrés ?
Angles supplémentaires
En général, tous les angles congruents ne sont pas des angles supplémentaires. Pour que les angles s’additionnent à 180 degrés, ils doivent être des angles supplémentaires. Seuls les angles droits sont congruents et supplémentaires car ils ont la même mesure et s’additionnent à 180 degrés.
Angles droits congruents
Les angles droits sont toujours congruents car leur mesure est la même. Ils mesurent toujours 90°.
Les angles congruents dans les lignes parallèles
Lorsque deux lignes parallèles sont intersectées par une transversale, nous obtenons certains angles congruents qui sont des angles correspondants, des angles verticaux, des angles intérieurs alternes et des angles extérieurs alternes.
Comment savoir si les angles sont congruents ?
Pour savoir si deux angles sont congruents, il faut vérifier si leur mesure est la même. Pour cela, on peut utiliser un rapporteur pour mesurer les angles et déterminer s’ils sont congruents ou non.
Les angles congruents sont-ils égaux ?
Oui, les angles congruents sont des angles égaux.
Comment trouver des angles congruents ?
Pour trouver des angles congruents, il suffit d’identifier les angles ayant la même mesure. Lorsqu’on place ces angles l’un sur l’autre, ils s’ajustent parfaitement, sans aucun espace vide.
Quels types d’angles sont toujours congruents ?
Les angles opposés par le sommet, les angles alternes-internes, les angles alternes-externes, et les angles correspondants, dessinés sur deux droites parallèles et une transversale sont toujours congruents. En plus de cela, les angles supplémentaires à un même angle et les angles complémentaires à un même angle sont également des angles congruents.
