A l’école primaire ou au collège, les élèves apprennent le calcul de l’aire d’un cercle, qui est une notion classique en mathématiques. Pour cela, il leur est donné quelques données. La formule de calcul est simple et autoritative : Aire = π × Rayon². Pour effectuer ce calcul, il est suffisant de connaitre la mesure du rayon. Cette formule peut également être utilisée avec d’autres données, moyennant quelques aménagements, pour calculer l’aire à partir du diamètre, de la circonférence, et même celle d’un secteur du cercle.
Calculer l’aire d’un cercle en utilisant le rayon
Connaître le rayon
Pour calculer l’aire d’un cercle, vous devez connaître la longueur du rayon. Le rayon est la distance mesurée entre le centre du cercle et n’importe quel point du tracé du cercle. Il y a des milliers de rayons possibles, mais il suffit de prendre ou de mesurer n’importe lequel d’entre eux.
Si vous mesurez la distance d’un point du cercle au point opposé en passant par le centre, vous obtenez le diamètre, qui est égal à deux fois la longueur du rayon.
Appliquer la formule de l’aire du cercle
La formule de l’aire du cercle est la suivante : Aire = π × Rayon², dans laquelle π est une constante mathématique bien connue qui correspond au rapport du rayon d’un cercle à son aire. La valeur la plus souvent utilisée pour π est le fameux 3,14, mais en réalité, π comporte une quantité infinie de décimales.
Élever le rayon au carré
Pour calculer l’aire, il faut élever le rayon au carré et multiplier le résultat par π.
Une fois que vous avez calculé le carré du rayon, vous devez le multiplier par la constante π pour obtenir l’aire du cercle.
Donner la réponse avec l’unité de mesure
Une aire s’exprime toujours en une unité de mesure carrée, telle que le mètre carré ou le centimètre carré. En fonction de vos besoins ou des exigences de l’exercice, vous pouvez donner une réponse précise avec l’unité de mesure ou une valeur approchée. Si le rayon est donné en centimètres ou en décimètres, la réponse sera respectivement en centimètres carrés ou en décimètres carrés. En l’absence de consignes, vous pouvez donner les deux valeurs.
Calculer une aire en utilisant le diamètre
Mesurez ou repérez le diamètre
Dans certains exercices ou problèmes portant sur l’aire, on ne vous donnera pas le rayon du cercle en question, mais son diamètre. Pour cela, il faut mesurer le diamètre avec une règle sur la figure qui accompagne le problème.
Prenons comme exemple un cercle qui aurait 20 cm de diamètre.
Divisez le diamètre par deux
Par définition, un diamètre équivaut à deux rayons et donc le rayon vaut la moitié d’un diamètre. Si l’on vous donne le diamètre, commencez par le diviser par 2 pour avoir le rayon.
Calcul :
Dans notre exemple, le rayon d’un cercle de 20 cm de diamètre est de 10 cm, soit 20/2 cm.
Utilisez la formule de l’aire
Comme vous avez trouvé le rayon, vous vous retrouvez dans la même situation que précédemment. Il faut donc utiliser la formule de l’aire : A = πr². Remplacez r par sa vraie valeur et faites les calculs comme suit :
Calcul :
A = π x 10² = 100π
Donnez la réponse complète avec l’unité
Comme précédemment, une aire s’exprime toujours en une unité carrée. Dans notre exemple, l’unité du rayon était le centimètre, l’aire obtenue sera en centimètres carrés. La réponse définitive est donc : A = 100π cm².
Il est possible de donner une valeur approchée en multipliant par 3,1Le résultat, plus parlant, est alors de 314 cm² (100π x 3,14).
CONSEIL D’EPERT(E)
Grace Imson, MA
Professeure de mathématiques au City College of San Francisco
Grace Imson est une professeure de mathématiques ayant plus de 40 ans d’expérience dans l’enseignement. Grace exerce actuellement au City College de San Francisco. Auparavant, elle était professeure au département de mathématiques de l’université Saint-Louis. Elle a enseigné cette discipline aux niveaux primaire, intermédiaire, secondaire et universitaire. Elle est titulaire d’un master en éducation avec une spécialisation en administration et supervision, délivré par l’université Saint-Louis.
Erreur commune lors de l’utilisation du diamètre
Lorsque l’on utilise un diamètre, l’erreur la plus courante est d’oublier de mettre le dénominateur au carré. Si, pour trouver le rayon, vous ne divisez pas le diamètre par 2, vous pouvez trouver l’aire du cercle. Par contre, vous devez changer la formule en mettant « d » au carré, sinon, la réponse sera fausse.
Comment calculer l’aire d’un cercle en utilisant la circonférence
Modification de la formule de base
Si vous disposez de la circonférence d’un cercle et que vous devez calculer son aire, vous pouvez simplement modifier la formule de base de l’aire, qui contient normalement le rayon.
La formule en fonction de la circonférence est alors la suivante :
Aire = (C²)/(4π)
Mesurez ou repérez la circonférence
Dans la vie de tous les jours, il n’est pas toujours simple de mesurer précisément le diamètre ou le rayon d’un objet circulaire. Si le diamètre n’apparaît pas ou si le centre n’est pas clairement identifié, il peut être difficile de déterminer ce dernier. En ces cas, il est souvent plus facile de mesurer la circonférence d’un objet réel (comme une pizza ou une poêle ronde) que son diamètre.
Pour mesurer la circonférence, vous pouvez utiliser un mètre de couturière souple.
Modification de la formule de calcul de l’aire du cercle
Au lieu d’utiliser le rayon, vous devez utiliser la circonférence pour calculer l’aire. La circonférence d’un cercle est égale à π fois son diamètre, d’où la formule : C = πd. Vous savez également que le diamètre est égal à deux fois le rayon, soit d = 2r. En combinant ces deux formules, vous pouvez obtenir la formule de la circonférence en fonction du rayon : C = 2πr.
En utilisant cette formule, vous pouvez trouver l’expression de r en fonction de C : r = C/(2π).
Modification de la formule de base de l’aire d’un cercle
La formule de l’aire d’un cercle peut être exprimée en fonction de la circonférence (C), elle-même fonction du rayon. Dans notre cas, il s’agit de modifier la formule classique en remplaçant le rayon par son expression trouvée précédemment.
La nouvelle formule de l’aire en fonction de la circonférence est donc :
Aire = (C²)/(4π)
Utilisation de la nouvelle formule pour calculer l’aire
En utilisant la nouvelle formule de l’aire, vous pouvez maintenant facilement calculer l’aire d’un cercle en fonction de sa circonférence. Il vous suffit de mesurer la circonférence, de calculer le rayon en utilisant la formule r = C/(2π), puis d’appliquer la formule de l’aire en fonction de la circonférence.
Comment calculer l’aire d’un cercle à partir de la circonférence ?
Modifier la formule de base
Si vous êtes dans le cas où vous connaissez la circonférence du cercle et qu’on vous demande de calculer son aire, il faut modifier la formule de base de l’aire en fonction de la circonférence. La formule en fonction de la circonférence est la suivante : A = (C² / 4π)
Mesurez ou repérez la circonférence
Dans la vie de tous les jours, il n’est pas toujours simple de mesurer précisément le diamètre ou le rayon d’un objet circulaire. Si le diamètre n’apparait pas ou si le centre n’est pas clairement identifié, il est souvent plus facile de mesurer la circonférence d’un objet réel (pizza ou une poêle ronde) que son diamètre. Pour cela, vous pouvez utiliser un mètre de couturière souple.
Calculer l’aire du cercle
Pour calculer l’aire du cercle, vous devez remplacer le rayon par la circonférence divisée par 2π dans la formule de base. En combinant la formule de la circonférence (C = 2πr) avec la formule de base de l’aire (A = πr²), vous obtenez la formule suivante : A = (C² / 4π)
Donnez la réponse complète avec l’unité
À moins qu’on ne vous ait donné une circonférence multiple de π, votre réponse se présentera sous la forme d’une fraction avec en dénominateur. Pour donner la réponse sous forme numérique, vous pouvez prendre pour une de ses valeurs, le plus souvent 3,1N’oubliez pas d’indiquer l’unité de mesure de l’aire (par exemple, cm², m²).
Trouver l’aire d’un cercle à partir de l’aire d’un secteur
Regardez bien les informations que vous avez
Avant de commencer le calcul, il est important de lire attentivement l’énoncé du problème et de repérer toutes les informations qui pourraient vous être utiles. Dans certains exercices, on vous demandera de calculer l’aire d’un cercle à partir des seules informations d’un secteur de ce cercle.
Sachez bien ce qu’est un secteur circulaire
Un secteur circulaire est une partie d’un cercle qui est limitée par deux rayons et la portion de circonférence qui les relie. C’est donc un espace délimité par ces trois lignes qu’on appelle un « secteur ». Il est important de comprendre ce concept pour pouvoir utiliser la formule adéquate.
Mesurez l’angle formé par les deux rayons
Pour calculer l’aire du cercle à partir de l’aire du secteur, vous devez mesurer l’angle formé par les deux rayons qui délimitent le secteur. Pour cela, vous pouvez utiliser un rapporteur. Il suffit d’aligner le sommet de l’angle avec le petit trou du milieu de la partie rectiligne du rapporteur et d’aligner un des rayons avec la ligne noire de cette partie. Vous pourrez ainsi lire la mesure de l’angle sur la partie courbe du rapporteur, au niveau du second rayon.
Servez-vous d’une formule toute faite
Il existe une formule très simple pour calculer l’aire totale d’un cercle à partir de l’aire d’un secteur et de son angle. Il suffit de multiplier l’aire du secteur par le rapport entre 360° (qui est l’angle total d’un cercle) et l’angle formé par les deux rayons qui délimitent le secteur. Cette formule est la suivante :
A = (aire du secteur x 360°) / (angle du secteur x π)
Remplacez les valeurs littérales par les vraies valeurs
Une fois que vous avez mesuré l’angle du secteur et que vous connaissez son aire, il ne reste plus qu’à remplacer les valeurs littérales par les valeurs réelles dans la formule et à effectuer les calculs. Par exemple, si l’angle du secteur est de 45° et que son aire est de 5 cm², vous remplacez l’angle du secteur par 45 et l’aire du secteur par Vous obtiendrez ainsi l’aire totale du cercle.
Donnez la réponse complète avec l’unité
Une fois que vous avez effectué les calculs, n’oubliez pas de donner la réponse complète en indiquant l’unité de mesure. En général, l’aire sera exprimée en cm², m² ou encore en mm² selon les cas.
Calcul de l’aire totale d’un cercle à partir de l’aire d’un secteur
Comprendre le problème
Pour calculer l’aire totale d’un cercle à partir de l’aire d’un secteur, il est important de bien comprendre les informations fournies dans l’énoncé du problème. Dans ce type d’exercice, il est possible que vous soyez seulement en possession de l’aire d’un secteur et qu’on vous demande de trouver l’aire totale du cercle.
Par exemple, on pourrait vous demander de calculer l’aire d’un cercle C dont le secteur mentionné dans la figure d’accompagnement a une aire de. Dans ce cas, il est important de bien lire l’énoncé et de repérer tous les éléments qui pourraient vous être utiles.
Déterminer l’aire totale d’un cercle
Pour trouver l’aire totale d’un cercle à partir de l’aire d’un secteur, il est nécessaire de connaître l’angle formé par les deux rayons du secteur et la mesure de la portion de circonférence qui les relie. En effet, un secteur est une partie d’un cercle limitée par deux rayons et un arc de cercle.
Dans l’exemple, le secteur est un huitième de l’aire totale du cercle. Cela signifie que l’angle formé par les deux rayons est de 45 degrés, soit un angle central de .
Utilisation d’une formule mathématique
Une fois que vous avez identifié l’angle central du secteur, vous pouvez utiliser une formule mathématique pour trouver l’aire totale du cercle. Cette formule est la suivante :
aire totale du cercle = (aire du secteur * 360) / (angle central * π)
Effectuer les calculs
Pour calculer l’aire totale du cercle, il vous suffit de remplacer les valeurs littérales dans la formule par les valeurs numériques que vous avez. Dans l’exemple, l’aire du secteur est de et l’angle central est de 45 degrés. La valeur de π est 3,14.
En utilisant la formule, nous pouvons calculer que l’aire totale du cercle est :
aire totale du cercle = (0,25 * 360) / (45 * 3,14) = 6,366 m²
Donner la réponse complète avec l’unité
Enfin, il est important de donner la réponse complète en spécifiant l’unité de mesure utilisée pour l’aire. Dans l’exemple, l’aire totale du cercle est de 6,366 m².
Vous regardez: Comment calculer l’aire d’un cercle
