Ainsi, si vous avez un devoir à faire à la maison qui consiste à calculer l’aire d’un quadrilatère, ne vous inquiétez pas si vous ne comprenez pas complètement le sens de ce terme. Un quadrilatère est simplement une figure géométrique ayant quatre côtés tels qu’un carré, un rectangle ou un losange. Pour trouver l’aire d’un quadrilatère, il suffit de reconnaître le type de quadrilatère sur lequel vous travaillez. Une fois le type identifié, vous pouvez appliquer une formule simple et calculer l’aire. Il n’y a pas besoin de s’inquiéter, car avec ces explications simples, vous pourrez facilement réussir votre devoir.
Calculer l’aire d’un parallélogramme
Identifier un parallélogramme
Un parallélogramme est un quadrilatère ayant les côtés opposés parallèles et de même longueur. Voici quelques exemples de figures géométriques qui sont des parallélogrammes :
Les carrés :
Ce sont des figures à quatre côtés égaux et quatre angles droits, c’est-à-dire égaux à 90°.
Les rectangles :
Ce sont des figures à quatre côtés dans lesquelles les côtés opposés ont la même longueur et les quatre angles sont tous droits.
Les losanges :
Ce sont des quadrilatères ayant quatre côtés égaux ou encore des parallélogrammes ayant au moins deux côtés consécutifs de même longueur, les angles opposés étant égaux.
Calculer l’aire d’un rectangle
Pour calculer l’aire d’un rectangle, il suffit de multiplier la longueur par la largeur. La longueur (notée l) est le côté le plus long (il y en a 2), tandis que la largeur (notée L) est le côté le plus court (il y en a 2 également). Le produit des deux donne l’aire du rectangle.
Par exemple, si la longueur d’un rectangle est de 10 cm et sa largeur de 5 cm, son aire se calcule ainsi : Aire = l x L = 10 cm x 5 cm = 50 cm².
Une aire s’exprime toujours dans une unité élevée au carré, par exemple des centimètres carrés, des décimètres carrés, des mètres carrés, etc.
Calculer l’aire d’un carré
Pour calculer l’aire d’un carré, il suffit de multiplier le côté par lui-même. Cette formule ressemble assez à celle du rectangle à la différence près que dans un carré, la longueur est égale à la largeur. Le côté d’un carré est noté habituellement a ou s.
Par exemple, si le côté d’un carré mesure 8 cm, son aire se calcule ainsi : Aire = a² = s² = 8 cm x 8 cm = 64 cm².
Calculer l’aire d’un losange
Il y a deux façons de calculer l’aire d’un losange :
En utilisant les diagonales :
Il faut multiplier les deux diagonales et diviser le résultat par 2. Les diagonales (d1 et d2) sont les segments reliant deux sommets opposés.
Par exemple, si les diagonales d’un losange mesurent 10 cm et 6 cm, son aire se calcule ainsi : Aire = (d1 x d2) / 2 = (10 cm x 6 cm) / 2 = 30 cm².
En utilisant la base et la hauteur :
Il faut multiplier la base par sa hauteur. La hauteur est le segment qui part de la base à angle droit (90°) et se finit, aussi à angle droit, sur le côté opposé et parallèle à la base. La hauteur n’est en aucun cas l’autre côté du losange
Comment calculer l’aire d’un trapèze?
Identifier un trapèze
Un trapèze est un quadrilatère qui possède deux côtés opposés et parallèles, appelés la petite et la grande base. Les angles des trapèzes peuvent avoir n’importe quelle valeur et les quatre côtés peuvent avoir n’importe quelle longueur.
Déterminer la hauteur du trapèze
La hauteur du trapèze est une ligne perpendiculaire aux deux côtés parallèles. Sa longueur est différente de celle des côtés, car ceux-ci sont obliques. La hauteur est nécessaire pour les deux formules de calcul de l’aire d’un trapèze.
Calculer l’aire d’un trapèze avec la formule de base
Si vous connaissez la hauteur et les bases du trapèze, vous pouvez utiliser la formule suivante pour calculer l’aire :
$$\frac{(b_1 + b_2) \times h}{2}$$
Par exemple, si vous avez un trapèze avec une petite base de 7 mètres, une grande base de 11 mètres et une hauteur de 2 mètres, vous pouvez trouver l’aire en utilisant cette formule :
$$\frac{(7+11) \times 2}{2} = 18$$
Calculer l’aire d’un trapèze avec la formule de la moyenne des bases
Il est également possible d’utiliser une autre formule qui utilise la moyenne des bases. Cette base est parallèle aux deux bases et à égale distance d’elles moyenne par deux. Sa longueur est calculée comme suit :
$$\frac{b_1 + b_2}{2}$$
La formule pour calculer l’aire d’un trapèze avec la moyenne des bases est :
$$\frac{(b_1 + b_2) \times h}{2} = \frac{(b_1 + b_2) \times h}{2} \times \frac{b_2 – b_1}{b_2 – b_1} = \frac{b_2 + b_1}{2} \times h$$
En utilisant l’exemple précédent (7 et 11 m), la moyenne des bases est de 9 m et la hauteur est de 2 m. L’aire du trapèze peut être calculée comme suit :
$$\frac{7 + 11}{2} \times 2 = 18$$
Ouf ! C’est le même résultat !
Comment calculer l’aire d’un cerf-volant
Identifier un cerf-volant
Avant de calculer l’aire d’un cerf-volant, il faut savoir le reconnaître. Il s’agit d’un quadrilatère ayant deux paires de côtés adjacents (partageant un même angle) égaux. Cette figure rappelle la forme des cerfs-volants classiques.
Calculer l’aire d’un cerf-volant avec les diagonales
Si les diagonales d’un cerf-volant sont connues, l’aire peut être calculée avec la formule suivante, similaire à celle du losange :A = (d1 x d2) / 2
Où d1 et d2 sont les longueurs des diagonales.
Exemple : les deux diagonales d’un cerf-volant mesurent 5 et 19 dm. Son aire est donnée par l’expression suivante :A = (5 x 19) / 2 = 47,5 dm²
Calculer l’aire d’un cerf-volant avec une autre formule
Si les longueurs des diagonales ne sont pas connues, l’aire d’un cerf-volant peut être calculée avec la formule suivante, qui fait intervenir les longueurs des deux côtés et l’angle qu’ils forment :A = (a x b x sin(θ)) / 2
Où a et b sont les longueurs des deux côtés et θ est l’angle qu’ils forment.
Exemple : si les deux côtés d’un cerf-volant ont des longueurs de 10 et 8 cm, formant un angle de 45 degrés, son aire peut être calculée ainsi :A = (10 x 8 x sin(45)) / 2 = 28,28 cm²
Remarque
Si les deux côtés adjacents ne sont pas égaux, il ne s’agit pas d’un cerf-volant mais plutôt d’un quadrilatère quelconque, pour lequel il faut utiliser d’autres formules pour calculer l’aire.
Calculer l’aire d’un quadrilatère quelconque
Déterminez les longueurs des quatre côtés
Si vous avez affaire à un quadrilatère quelconque, dont les côtés ont des longueurs différentes et qu’il n’y a aucune paire de côtés parallèles, il est possible de déterminer son aire en utilisant des formules adaptées. Toutefois, cela requiert la connaissance de la trigonométrie.
Pour commencer, il faut mesurer les longueurs de chaque côté du quadrilatère, que nous appellerons ici a, b, c et d. Pour la démonstration, les côtés a et c sont opposés, de même que b et d.
Ayez les valeurs de deux angles opposés
Dans le cas d’un quadrilatère irrégulier, vous ne pourrez pas calculer l’aire si vous ne connaissez que les côtés. Il est donc essentiel de trouver la valeur de deux angles opposés. Nous prendrons ici l’angle formé par a et b, et celui entre c et d. Nous aurions aussi bien pu prendre l’angle formé par a et d, et celui entre b et c.
Décomposez le quadrilatère en 2 triangles
L’aire d’un quadrilatère quelconque est toujours la somme des aires des deux triangles qui le composent. En traçant un trait entre deux sommets opposés, vous créez deux triangles. Prenons le triangle ABC formé de a, b et la diagonale opposée à l’angle formé par a et b et reliant les sommets des deux côtés. L’aire d’un tel triangle est : (a * b * sin(angle ABC)) / 2. Vous avez un second triangle du même type, avec ADC et les côtés c et d.
Formule de calcul
Une fois que vous avez trouvé les valeurs des côtés et des angles opposés et décomposé le quadrilatère en deux triangles, il convient de calculer la somme suivante : (a * b * sin(angle ABC)) / 2 + (c * d * sin(angle ADC)) / 2.
Exemple de calcul
Si vous avez un quadrilatère ABCD avec a = 5 cm, b = 7 cm, c = 4 cm, d = 9 cm, angle ABC = 80° et angle ADC = 110°, vous pouvez calculer son aire de la manière suivante :
Triangle ABC : (5 * 7 * sin(80°)) / 2 = 17.22 cm²
Triangle ADC : (4 * 9 * sin(110°)) / 2 = 16.44 cm²
Aire du quadrilatère : 17.22 cm² + 16.44 cm² = 33.66 cm²
Utilisez cette calculatrice pour trouver l’aire de n’importe quel quadrilatère
Avec cette calculatrice, vous pouvez résoudre rapidement la formule pour trouver l’aire d’un quadrilatère quelconque. Il vous suffit d’entrer les valeurs des côtés et des angles et la calculatrice fera le reste pour vous.
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