Le système de numérotation décimale (ou de base dix) est un système numérique dans lequel les chiffres peuvent prendre dix valeurs distinctes : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9. Cependant, en système binaire (ou de base deux), les chiffres ne peuvent prendre que deux valeurs distinctes : 0 ou 1.
Il est important de noter que les ordinateurs du monde entier fonctionnent sur le système binaire. Ainsi, si vous envisagez de devenir un programmeur, amateur ou professionnel, il vous est nécessaire de savoir comment convertir les nombres du système décimal en binaire.
Comment faire une division rapide par 2 avec un reste ?
Pour convertir rapidement un nombre en base décimale en nombre binaire, il est possible d’utiliser une méthode simple : la division par 2 avec un reste. Voici les étapes à suivre :
Poser le problème
Pour cet exemple, nous allons convertir le nombre décimal 156 en nombre binaire. Pour commencer, inscrivez le nombre en tant que dividende à l’intérieur d’une longue barre de division. Ensuite, inscrivez la base du système de destination (dans notre cas, « 2 » pour le binaire) comme diviseur à l’extérieur du symbole de division.
Comme on travaille avec deux bases différentes, pour éviter les confusions, on indique en exposant inférieur la base sous sa forme chiffrée. Un chiffre en base décimale est affecté à sa droite d’un petit en indice, tandis qu’un chiffre binaire a un petit 2 en indice.
Faire les divisions
Effectuez la division. Écrivez la réponse entière (quotient) sous le symbole de division, et écrivez le reste (0 ou 1) à la droite du dividende.
Divisez chaque nouveau quotient par deux et inscrivez le reste à droite de chaque dividende. Arrêtez-vous lorsque le quotient est 0.
Récupérer le nombre en binaire
En commençant par le bas de la liste des restes, lisez la séquence vers le haut. Avec notre exemple, vous devriez lire 011100. Ce nombre est l’équivalent binaire du nombre décimal 156. On peut aussi l’écrire sous la forme : 15610 = 0111002.
Remarque
Cette méthode peut s’appliquer, quelle que soit la base. Ici, on divisait par 2 parce qu’on voulait l’équivalent en binaire. Rien ne vous empêchait de trouver l’équivalent en base 9, ou en base x.
Conversion décimal en binaire : Les puissances descendantes de deux et la soustraction
Pour convertir un nombre décimal en binaire, il existe plusieurs méthodes. L’une d’entre elles utilise les puissances descendantes de deux et la soustraction. Voici comment procéder :
Tracer un tableau des puissances de deux
Commencez par tracer un tableau. Listez les puissances de deux dans un « tableau de base 2 » de droite à gauche. Commencez par 2^0 (= 1). Incrémentez l’exposant d’une unité pour chaque puissance. Faites une liste qui « va » jusqu’à votre nombre : si votre nombre est 1000, allez jusqu’à 2^14.
Cherchez la plus grande puissance de 2 inférieure ou égale à votre nombre
Cherchez la plus grande puissance de 2 inférieure ou égale à votre nombre. Inscrivez un 1 comme chiffre binaire le plus à gauche, et soustrayez cette puissance de 2 de votre nombre décimal. Vous obtenez un reste.
Passez à la puissance de deux immédiatement inférieure
Passez à la puissance de deux immédiatement inférieure. Si cette puissance de 2 « entre-t-elle » dans le reste, écrivez un 1 comme chiffre binaire suivant à droite du premier. Sinon, écrivez 0. Continuez jusqu’à trouver un nombre qui aille dans le reste.
Marquez 1 quand une puissance de 2 va dans votre nombre et soustrayez-la de votre reste
Quand une puissance de 2 est inférieure ou égale à votre reste, marquez 1 et faites la soustraction de proche en proche. Continuez jusqu’à atteindre le bout de votre tableau. On met un 1 quand cette puissance de 2 va dans votre nombre, on met 0 dans le cas contraire.
Assemblez la réponse binaire
Lire la réponse de gauche à droite pour obtenir le nombre binaire. C’est l’équivalent binaire du nombre décimal que vous avez voulu convertir.
Reprenons notre exemple précédent : on veut convertir 15610 en base 2. Après avoir appliqué ces étapes, on obtient la réponse binaire011100. Ce nombre est l’équivalent binaire de 156. On peut aussi l’écrire sous la forme : 15610 =0111002.
La mémorisation des puissances de 2
Après avoir utilisé cette méthode de conversion en base 2 à plusieurs reprises, vous devriez être en mesure de mémoriser les puissances de 2 courantes. Cela vous permettra d’éviter la première étape de la méthode.
Les puissances de 2 courantes
Les puissances de 2 courantes sont :
- 20 = 1
- 21 = 2
- 22 = 4
- 23 = 8
- 24 = 16
- 25 = 32
- 26 = 64
- 27 = 128
- 28 = 256
- 29 = 512
- 210 = 1024
- 211 = 2048
- 212 = 4096
- 213 = 8192
- 214 = 16384
- 215 = 32768
- 216 = 65536
Avantages de la mémorisation
La mémorisation des puissances de 2 courantes vous permettra de gagner du temps lors de la conversion en base 2. Vous pourrez rapidement identifier la plus grande puissance de 2 inférieure ou égale à votre nombre, sans avoir à la chercher dans un tableau.
En outre, cette mémorisation vous sera utile si vous travaillez régulièrement avec des nombres binaires ou si vous devez convertir fréquemment des nombres en base 2.
Alors n’hésitez pas à répéter cette méthode de conversion en base 2, jusqu’à ce que vous maitrisiez les puissances de 2 courantes !
Conversion binaire en décimal
La conversion d’un nombre binaire en décimal est un processus plus complexe que la conversion inverse, mais il est tout aussi important de comprendre cette méthode. Bien que la plupart des calculatrices modernes puissent effectuer cette conversion automatiquement, il est essentiel pour tout programmeur de comprendre comment cela fonctionne.
Utilisation de la méthode de la valeur de position
La méthode de la valeur de position est la plus couramment utilisée pour la conversion de binaire en décimal. Cette méthode consiste à multiplier chaque chiffre binaire par la puissance de 2 correspondante en fonction de sa position dans le nombre binaire, et à ajouter tous les produits pour obtenir le nombre décimal équivalent.
Exemple de conversion de binaire en décimal
Considérons l’exemple suivant : convertir le nombre binaire 1100102 en décimal. Tout d’abord, nous écrivons le nombre binaire sous forme de somme de puissances de 2 : 1 x 26 + 1 x 25 + 0 x 24 + 0 x 23 + 1 x 22 + 0 x 21 + 0 x 20
Ensuite, nous évaluons chaque terme en multipliant chaque chiffre binaire par la puissance de 2 correspondante : 1 x 64 + 1 x 32 + 0 x 16 + 0 x 8 + 1 x 4 + 0 x 2 + 0 x 1
Enfin, nous additionnons tous les produits pour obtenir le nombre décimal équivalent : 64 + 32 + 4 = 110
Conversion décimale en binaire
La conversion de décimal en binaire est plus facile que la conversion inverse et peut être effectuée à l’aide de la méthode de la division successive.
Exemple de conversion de décimal en binaire
Pour convertir le nombre décimal 15610 en binaire, nous utilisons la méthode de la division successive. Nous divisons le nombre décimal par 2 jusqu’à ce que le quotient soit 0, en enregistrant les restes à chaque étape. Ensuite, nous lisons les restes de droite à gauche pour obtenir le nombre binaire équivalent : 156 ÷ 2 = 78 reste 0
78 ÷ 2 = 39 reste 0
39 ÷ 2 = 19 reste 1
19 ÷ 2 = 9 reste 1
9 ÷ 2 = 4 reste 1
4 ÷ 2 = 2 reste 0
2 ÷ 2 = 1 reste 0
1 ÷ 2 = 0 reste 1
En lisant les restes de droite à gauche, nous obtenons le nombre binaire équivalent : 0111002
Il est important de se rappeler que le chiffre le plus à gauche du nombre binaire équivalent correspond à la plus grande puissance de 2
Vous êtes en train de lire cet article sur la conversion de décimal en binaire. Nous espérons que cet article vous fournira toutes les informations nécessaires sur ce sujet.
