Les déterminants sont des quantités scalaires obtenues en sommant les produits des éléments d’une matrice carrée et de leurs cofacteurs selon une règle prescrite. Ils aident à trouver l’adjoint et l’inverse d’une matrice. Pour résoudre des équations linéaires à l’aide de la méthode d’inversion de matrice, il est nécessaire d’appliquer ce concept. Le produit vectoriel de deux vecteurs est facilement mémorisé en calculant les déterminants.
Dans cet article, nous en apprendrons davantage sur le processus de recherche de déterminants de différentes ordres et de leurs propriétés. Nous travaillerons également sur quelques exemples résolus.
Qu’est-ce que les déterminants?
Les déterminants sont considérés comme des facteurs d’échelle de matrices. Ils peuvent être considérés comme des fonctions d’étirement et de réduction des matrices. Les déterminants prennent une matrice carrée en entrée et renvoient un nombre unique en sortie.
Définition des déterminants
Pour chaque matrice carrée C = [\(c_{ij}\)] d’ordre n×n, un déterminant peut être défini comme une valeur scalaire qui est un nombre réel ou complexe, où \(c_{ij}\) est l’élément (i, j) de la matrice C. Le déterminant peut être noté comme det(C) ou |C|, ici le déterminant est écrit en prenant la grille de nombres et en les arrangeant à l’intérieur des barres de valeur absolue au lieu d’utiliser des crochets carrés.
Considérons une matrice C = \(\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ \\ 3 & 4\end{array}\right]\)
Alors, son déterminant peut être représenté comme:
|C| = \(\left|\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 3 & 4\end{array}\right|\)
Comment calculer un déterminant?
Pour la matrice carrée la plus simple d’ordre 1×1, qui ne contient qu’un seul nombre, le déterminant devient le nombre lui-même. Apprenons à calculer les déterminants pour les matrices d’ordre deuxième, troisième et quatrième.
Calcul du déterminant d’une matrice 2×2
Pour toute matrice carrée 2×2 ou une matrice carrée d’ordre 2×2, nous pouvons utiliser la formule du déterminant pour calculer son déterminant:
C = \(\left[\begin{array}{ll}a & b \\\\c & d\end{array}\right]\)
Son déterminant 2×2 peut être calculé comme:
|C| = \(\left|\begin{array}{ll}a & b \\c & d\end{array}\right|\) = (a×d) – (b×c)
Par exemple: C = \(\left[\begin{array}{ll}8 & 6 \\ \\3 & 4\end{array}\right]\)
Son déterminant peut être calculé comme:
|C| = \(\left|\begin{array}{ll}8 & 6 \\3 & 4\end{array}\right|\)
|C| = (8×4) – (6×3) = 32 – 18 = 14
Comment calculer le déterminant d’une matrice 3×3?
Le déterminant d’une matrice est un nombre scalaire calculé à partir des éléments de la matrice. Le déterminant d’une matrice carrée est souvent utilisé pour résoudre des équations linéaires et déterminer si la matrice est inversible ou non. Dans cet article, nous allons discuter de la méthode de calcul du déterminant d’une matrice 3×3.
Calcul du déterminant d’une matrice 3×3
Pour une matrice 3×3, le déterminant est représenté par:
|C| (ou) det C = \(\left|\begin{array}{ccc}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\a_{2} & b_{2} & c_{2} \\a_{3} & b_{3} & c_{3}\end{array}\right| \)
Les étapes pour calculer le déterminant d’une matrice 3×3 sont les suivantes:
- Choisissez une ancre, par exemple a1.
- Calculez le mineur de a1, qui est le déterminant de la matrice 2×2 créée en supprimant la première ligne et la première colonne.
- Calculez les mineurs de b1 et c1 de la même manière.
- Multiplication des mineurs par l’ancre et le signe associé \(\left|\begin{array}{ccc}+ &-& + \\- & + & – \\+ &-& + \end{array}\right| \).
- Enfin, additionnez les résultats.
Ainsi, le déterminant de la matrice 3×3 est donné par:
|C| = \(a_{1}\left(b_{2} c_{3}-b_{3} c_{2}\right)-b_{1}\left(a_{2} c_{3}-a_{3} c_{2}\right)+c_{1}\left(a_{2} b_{3}-a_{3} b_{2}\right)\)
Exemple
Prenons l’exemple suivant:
B = \(\left[\begin{array}{ccc}3 & 1 & 1 \\4 & -2 & 5 \\2 & 8 & 7\end{array}\right] \)
Son déterminant est calculé comme suit:
|B| = \(\left|\begin{array}{ccc}3 & 1 & 1 \\4 & -2 & 5 \\2 & 8 & 7\end{array}\right| \)
= \(3 \cdot\left|\begin{array}{ll}-2 & 5 \\8 & 7\end{array}\right|-1 \cdot\left|\begin{array}{cc}4 & 5 \\2 & 7\end{array}\right|+1 \cdot\left|\begin{array}{ll}4 & -2 \\2 & 8\end{array}\right|\)
= 3 × ((-2)(7) – (5)(8
Calcul de déterminant d’une matrice 4×4
Formule de calcul
Soit B = (\left[\begin{array}{cccc}a_{1} & b_{1} & c_{1} & d_{1} \a_{2} & b_{2} & c_{2} & d_{2} \a_{3} & b_{3} & c_{3} & d_{3} \a_{4} & b_{4} & c_{4} & d_{4}\end{array}\right])
Le déterminant de B est égal à :
(\begin{align}|B| = &a_{1} \cdot\left|\begin{array}{lll}b_{2} & c_{2} & d_{2} \b_{3} & c_{3} & d_{3} \b_{4} & c_{4} & d_{4}\end{array}\right|-b_{1} \cdot\left|\begin{array}{ccc}a_{2} & c_{2} & d_{2} \a_{3} & c_{3} & d_{3} \a_{4} & c_{4} & d_{4}\end{array}\right|\&+c_{1}\cdot\left|\begin{array}{ccc}a_{2} & b_{2} & d_{2} \a_{3} & b_{3} & d_{3} \a_{4} & b_{4} & d_{4}\end{array}\right|-d_{1} \cdot\left|\begin{array}{ccc}a_{2} & b_{2} & c_{2} \a_{3} & b_{3} & c_{3} \a_{4} & b_{4} & c_{4}\end{array}\right|\end{align})
Nous pouvons utiliser la méthode mentionnée dans la section précédente pour trouver le déterminant des matrices 3×3.
Méthode de calcul
Voici une méthode facile pour trouver le déterminant d’une matrice 3×3 :
- Multipliez le premier élément de la première ligne par le déterminant de la matrice 2×2 obtenue en supprimant la première ligne et la première colonne.
- Multipliez le deuxième élément de la première ligne par le déterminant de la matrice 2×2 obtenue en supprimant la première ligne et la deuxième colonne.
- Multipliez le troisième élément de la première ligne par le déterminant de la matrice 2×2 obtenue en supprimant la première ligne et la troisième colonne.
- Soustrayez le résultat obtenu en effectuant les étapes 1, 2 et 3 de la matrice de départ.
Cette méthode peut être répétée pour trouver le déterminant des matrices 2×2, puis des matrices 4×4 en utilisant la formule ci-dessus.
Multiplication de déterminants
Méthode de multiplication de tableaux
Nous utilisons une méthode appelée la multiplication de tableaux pour multiplier deux déterminants de matrices carrées. Voyons la règle de multiplication ligne par colonne pour multiplier deux déterminants des matrices carrées A et B :
Multiplication de déterminants 2×2
Considérons deux matrices carrées A et B d’ordre 2×2, nous désignons d’abord leurs déterminants respectifs comme |A| et |B| comme indiqué ci-dessous :
|A| = (\left|\begin{array}{ll}\mathrm{a}{1} & \mathrm{~b}{1} \\mathrm{a}{2} & \mathrm{~b}{2}\end{array}\right|)
|B| = (\left|\begin{array}{ll}\mathrm{p}{1} & \mathrm{~q}{1} \\mathrm{p}{2} & \mathrm{~q}{2}\end{array}\right|)
|A| × |B| = (\left|\begin{array}{ll}\mathrm{a}{1} & \mathrm{~b}{1} \\mathrm{a}{2} & \mathrm{~b}{2}\end{array}\right| \times\left|\begin{array}{cc}p_{1} & \mathrm{~q}{1} \p{2} & \mathrm{~q}{2}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll}\mathrm{a}{1} p_{1}+\mathrm{b}{1} p{2} & \mathrm{a}{1} \mathrm{~q}{1}+\mathrm{b}{1} \mathrm{~q}{2} \\mathrm{a}{2} p{1}+\mathrm{b}{2} p{2} & \mathrm{a}{2} \mathrm{~q}{1}+\mathrm{b}{2} \mathrm{~q}{2}\end{array}\right|)
Multiplication des déterminants de 3×3
Définitions
Considérons deux matrices C et D d’ordre 3×3. Leurs déterminants respectifs sont notés |C| et |D| comme indiqué ci-dessous :
|C| = (\left|\begin{array}{lll}a_{1} & b_{1} & c_{1} \a_{2} & b_{2} & c_{2} \a_{3} & b_{3} & c_{3}\end{array}\right|)
|D| = (\left|\begin{array}{lll}p_{1} & q_{1} & r_{1} \p_{2} & q_{2} & r_{2} \p_{3} & q_{3} & r_{3}\end{array}\right|)
Le produit des déterminants |C| et |D| est défini comme suit :
|C| × |D| = (\left|\begin{array}{lll}
a_{1} p_{1}+b_{1} p_{2}+c_{1} p_{3} & a_{1} q_{1}+b_{1} q_{2}+c_{1} q_{3} & a_{1} r_{1}+b_{1} r_{2}+c_{1} r_{3} \a_{2} p_{1}+b_{2} p_{2}+c_{2} p_{3} & a_{2} q_{1}+b_{2} q_{2}+c_{2} q_{3} & a_{2} r_{1}+b_{2} r_{2}+c_{2} r_{3} \a_{3} p_{1}+b_{3} p_{2}+c_{3} p_{3} & a_{3} q_{1}+b_{3} q_{2}+c_{3} q_{3} & a_{3} r_{1}+b_{3} r_{2}+c_{3} r_{3}\end{array}\right|)
Points à retenir
Lors de la multiplication de deux déterminants, il est important de garder à l’esprit les points suivants :
- Pour pouvoir multiplier deux déterminants, il faut s’assurer qu’ils sont de même ordre.
- La valeur du déterminant ne change pas lorsque les lignes et les colonnes sont interverties, donc on peut également suivre les règles de multiplication de colonnes par rangée, rangée par rangée ou colonne par colonne pour multiplier deux déterminants.
Propriétés des déterminants
Pour les matrices carrées de différents types, lorsqu’on calcule leur déterminant, on se base sur certaines propriétés importantes des déterminants. Voici la liste de certaines des propriétés importantes des déterminants :
Propriété 1 : « Le déterminant d’une matrice identité est toujours égal à 1 »
Considérons le déterminant d’une matrice identité I = \(\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\0 & 1\end{array}\right]\), |I| = (1)(1) – (0)(0) = 1. Ainsi, le déterminant de toute matrice identité est toujours égal à 1.
Propriété 2 : « Si une matrice carrée B d’ordre n×n a une ligne ou une colonne de zéros, alors det(B) = 0 »
Considérons le déterminant d’une matrice identité B,
|B| = (\left|\begin{array}{ll} 2 & 2 \0 & 0\end{array}\right|)
|B| = (2)(0) – (2)(0) = 0
Ici, la matrice carrée B a une ligne de zéros, et donc, le déterminant de cette matrice carrée devient zéro.
Propriété 3 : « Si C est une matrice triangulaire supérieure ou inférieure, alors det(C) est le produit de toutes ses entrées diagonales »
Considérons une matrice triangulaire supérieure C avec les entrées diagonales 3, 2 et 4. Le déterminant |C| peut être trouvé comme :
|C| = (\left|\begin{array}{ccc}3 & 1 & 1 \0 & 2 & 5 \0 & 0 & 4\end{array}\right| )
|C| = 3 × 2 × 4 = 24
Propriété 4 : « Si D est une matrice carrée, alors si sa ligne est multipliée par une constante k, alors la constante peut être sortie du déterminant »
|D| = (\left|\begin{array}{ll}k×a & k×b \c & d\end{array}\right|) |D| = k × (\left|\begin{array}{ll}a & b \c & d\end{array}\right|)
|D| = (\left|\begin{array}{ll}2 & 4 \1 & 5\end{array}\right|)
= (2)(5) – (4)(1)
= 10 – 4 = 6
|D| = 2 × (\left|\begin{array}{ll}1 & 2 \1 & 5\end{array}\right|)
= 2 × ((1)(5) – (2)(1))
= 2 × (5-2) = 2 × 3 = 6
Ainsi, le déterminant reste le même dans les deux cas.
Règles pour les opérations sur les déterminants
Dans cette section, nous allons examiner les règles pour effectuer des opérations de rang et de colonne sur les déterminants. Les règles suivantes sont utiles pour effectuer ces opérations:
La valeur du déterminant reste inchangée si les rangs et les colonnes sont échangés
Si les rangs et les colonnes d’une matrice sont échangés, la valeur du déterminant reste inchangée. Cela signifie que les rangs et les colonnes peuvent être permutés sans modifier la valeur du déterminant.
Le signe du déterminant change si deux rangées ou deux colonnes sont échangées
Si deux rangées ou deux colonnes sont échangées, le signe du déterminant change. Par exemple, si deux rangées sont échangées, le déterminant devient son opposé.
La valeur du déterminant est zéro si deux rangées ou deux colonnes sont identiques
Si deux rangées ou deux colonnes d’une matrice sont identiques, alors la valeur du déterminant est zéro.
La multiplication de tous les éléments d’une rangée ou d’une colonne par une constante multiplie la valeur du déterminant par cette constante
Si tous les éléments d’une rangée ou d’une colonne sont multipliés par une constante, alors la valeur du déterminant est également multipliée par cette constante.
La somme de déterminants de deux matrices équivalentes
Si les éléments d’une rangée ou d’une colonne sont exprimés comme une somme d’éléments, alors le déterminant peut être exprimé comme la somme de déterminants.
La valeur du déterminant reste inchangée si l’on ajoute ou soustrait à une rangée ou une colonne un multiple correspondant d’une autre rangée ou colonne
Si les éléments d’une rangée ou d’une colonne sont ajoutés ou soustraits aux multiples correspondants d’une autre rangée ou colonne, alors la valeur du déterminant reste inchangée.
Notes importantes sur les déterminants
Voici quelques points à retenir lors de l’étude des déterminants:
Le déterminant est une fonction qui prend une matrice carrée en entrée et renvoie un nombre unique en sortie
Le déterminant peut être considéré comme une fonction qui prend une matrice carrée en entrée et renvoie un nombre unique en sortie.
Une matrice carrée est une matrice qui a un nombre égal de rangées et de colonnes
Une matrice carrée est une matrice qui a un nombre égal de rangées et de colonnes.
Règles pour les opérations sur les déterminants
Valeur inchangée du déterminant
Si les lignes et les colonnes d’une matrice sont interchangées, la valeur du déterminant reste inchangée.
Changement de signe du déterminant
Le signe du déterminant change si deux lignes ou deux colonnes sont interchangées.
La valeur du déterminant est zéro
Si deux lignes ou deux colonnes d’une matrice sont égales, alors la valeur du déterminant est zéro.
Le déterminant est multiplié par une constante
Si tous les éléments d’une ligne ou d’une colonne sont multipliés par une constante, alors la valeur du déterminant est également multipliée par la constante.
Le déterminant peut être exprimé comme une somme de déterminants
Si les éléments d’une ligne ou d’une colonne sont exprimés comme une somme d’éléments, alors le déterminant peut être exprimé comme une somme de déterminants.
Valeur inchangée du déterminant
Si les éléments d’une ligne ou d’une colonne sont ajoutés ou soustraits avec les multiples correspondants des éléments d’une autre ligne ou colonne, la valeur du déterminant reste inchangée.
Source de référence : https://en.wikipedia.org/wiki/Determinant
Notes importantes sur le déterminant
Le déterminant d’une matrice carrée, C = [(c_{ij})] d’ordre n × n, peut être défini comme une valeur scalaire qui est un nombre réel ou un nombre complexe, où (c_{ij}) est l’élément (i, j) de la matrice C. Il est noté det(C) ou |C|. Le déterminant est écrit en prenant la grille de nombres et en les arrangeant à l’intérieur des barres de valeur absolue au lieu d’utiliser des crochets. Le déterminant d’une matrice carrée (C = \left[\begin{array}{ll} 4 & 2\ \ 5 & 3\end{array}\right]) peut être écrit comme suit: (|C| = \left|\begin{array}{ll} 4 & 2\5 & 3\end{array}\right|). Il est obtenu en multipliant les éléments d’une ligne ou d’une colonne par leurs cofacteurs correspondants et en additionnant les produits.
Matrice carrée
Une matrice carrée peut être définie comme une matrice qui a un nombre égal de lignes et de colonnes.
Formule pour le déterminant d’une matrice 2×2
Pour n’importe quelle matrice carrée 2×2 ou une matrice carrée d’ordre 2×2, nous pouvons utiliser cette formule de déterminant pour calculer son déterminant:
(C = \left|\begin{array}{ll}a & b\c & d\end{array}\right|). La formule pour calculer le déterminant de 2×2 est |C| = (a×d) – (b×c).
Les déterminants sont-ils commutatifs?
Réponse:
Oui, la multiplication des déterminants est commutative et cela peut être bien compris avec cette propriété: Si B et C sont deux matrices carrées d’ordre n × n, alors det(BC) = det(B) × det(C) = det(C) × det(B).
Quelles sont les propriétés des déterminants?
Réponse:
Voici la liste de certaines des propriétés importantes des déterminants:
- Le déterminant d’une matrice identité est toujours égal à 1
- Si une matrice carrée B d’ordre n×n a une rangée ou une colonne de zéros, alors det(B) = 0
- Si C est une matrice triangulaire supérieure ou inférieure, alors det(C) est le produit de toutes ses entrées diagonales
- Si D est une matrice carrée, alors si sa rangée est multipliée par une constante k, alors la constante peut être sortie du déterminant
- Une matrice carrée C est considérée comme inversible si et seulement si det(C) ≠ 0
- Si B et C sont deux matrices carrées d’ordre n × n, alors det(BC) = det(B) × det(C) = det(C) × det(B)
- La relation entre le déterminant d’une matrice D et son adjoint adj(D) peut être exprimée comme D × adj(D) = adj(D) × D = |D| × I. Ici, D est une matrice carrée et I est une matrice identité.
Quelles sont les règles pour effectuer des opérations de lignes et de colonnes sur les déterminants ?
Les règles suivantes sont utiles pour effectuer les opérations de lignes et de colonnes sur les déterminants :
- Si les lignes et les colonnes sont échangées, alors la valeur du déterminant reste inchangée.
- Lorsque deux lignes ou deux colonnes sont échangées, le signe du déterminant change.
- La valeur du déterminant d’une matrice dans laquelle deux lignes/colonnes sont égales est zéro.
- Si chaque élément d’une ligne ou d’une colonne particulière d’une matrice est multiplié par une constante, alors son déterminant est également multiplié par cette constante.
- Si les éléments d’une ligne ou d’une colonne sont exprimés comme des sommes, alors le déterminant peut être divisé en deux ou plusieurs déterminants.
- Si une ligne (ou une colonne) est multipliée par un nombre et que les éléments résultants sont ajoutés à une autre ligne (ou colonne), alors le déterminant ne change pas.
Où pouvons-nous trouver un calculateur de déterminant ?
Pour trouver le déterminant d’une matrice, utilisez le calculateur de déterminant suivant : Calculateur de déterminant. Cela nous aidera à trouver le déterminant d’une matrice 3×3.
Quel est le déterminant d’une matrice triangulaire ?
Le déterminant d’une matrice triangulaire peut être trouvé en calculant le produit de toutes ses entrées diagonales. Cela s’applique aux matrices triangulaires supérieures et inférieures.
Les déterminants peuvent-ils être négatifs ?
Les déterminants représentent une quantité scalaire qui est un nombre réel. Ainsi, les déterminants peuvent être négatifs. Si les déterminants sont négatifs, cela indique que la matrice a changé l’orientation de son vecteur de base. |-A| = (-1)n |A|. Prenez n’importe quel déterminant positif et inversez deux lignes ou colonnes de la matrice pour trouver son déterminant, qui serait alors négatif.
