Différentiation des fonctions trigonométriques – Dérivées trigonométriques

Le processus de recherche des dérivées des fonctions trigonométriques est connu sous le nom de différenciation des fonctions trigonométriques. En d’autres termes, la différenciation des fonctions trigonométriques consiste à trouver le taux de variation de la fonction par rapport à la variable. Les six fonctions trigonométriques ont des formules de différenciation qui peuvent être utilisées dans divers problèmes d’application de la dérivée.

Les six fonctions trigonométriques de base comprennent les suivantes: sinus (sin x), cosinus (cos x), tangente (tan x), cotangente (cot x), sécante (sec x) et cosécante (cosec x). Dans cet article, nous trouverons les dérivées des fonctions trigonométriques ainsi que leurs preuves. La différenciation des fonctions trigonométriques a des applications dans différents domaines tels que l’électronique, la programmation informatique et la modélisation de différentes fonctions cycliques.

Qu’est-ce que la Différenciation des Fonctions Trigonométriques?

En trigonométrie, la différenciation des fonctions trigonométriques est un processus mathématique permettant de déterminer le taux de variation des fonctions trigonométriques par rapport à l’angle variable. La différenciation des fonctions trigonométriques peut être effectuée en utilisant les dérivées de sin x et cos x en appliquant la règle du quotient. Les formules de différenciation des six fonctions trigonométriques sont énumérées ci-dessous:

Les Formules de Dérivation des Fonctions Trigonométriques

• Dérivée de sin x: (sin x)’ = cos x
• Dérivée de cos x: (cos x)’ = -sin x
• Dérivée de tan x: (tan x)’ = sec² x
• Dérivée de cot x: (cot x)’ = -cosec² x
• Dérivée de sec x: (sec x)’ = sec x.tan x
• Dérivée de cosec x: (cosec x)’ = -cosec x.cot x

Nous utilisons d/dx pour écrire les dérivées. Voici les trois dérivées utilisant cette notation.

Applications de la Différenciation des Fonctions Trigonométriques

La différenciation des fonctions trigonométriques a des applications dans différents domaines, notamment en électronique, en programmation informatique et en modélisation de différentes fonctions cycliques.

Preuves des dérivées trigonométriques

Dérivée de sin x

Nous allons dériver la fonction trigonométrique sin x en utilisant le principe de la première dérivée, c’est-à-dire en utilisant la définition des limites. Pour dériver la fonction trigonométrique sin x, nous utiliserons les limites et les formules trigonométriques suivantes :

sin (A + B) = sin A cos B + sin B cos A

(\lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{\cos x -1}{x} = 0)

(\lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1)

Maintenant, nous allons calculer la dérivée de la fonction trigonométrique sin x :

(\begin{align}\frac{\mathrm{d} (\sin x)}{\mathrm{d} x} &= \lim_{h\rightarrow 0} \dfrac{\sin (x + h)-\sin x}{(x+h)-x} \&= \lim_{h\rightarrow 0} \dfrac{\sin x \cos h +\cos x \sin h-\sin x}{h}\&=\lim_{h\rightarrow 0} \dfrac{\cos h -1 }{h}\sin x + \dfrac{\sin h}{h}\cos x\&=(0)\sin x + (1)\cos x\&=\cos x\end{align})

Par conséquent, d(sin x)/dx = cos x.

Dérivée de cos x

Nous allons dériver la fonction trigonométrique cos x en utilisant le principe de la première dérivée, c’est-à-dire en utilisant la définition des limites. Pour dériver la fonction trigonométrique cos x, nous utiliserons les limites et les formules trigonométriques suivantes :

cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B

(\lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{\cos x -1}{x} = 0)

(\lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1)

Ainsi, nous avons

(\begin{align}\frac{\mathrm{d} (\cos x)}{\mathrm{d} x} &= \lim_{h\rightarrow 0} \dfrac{\cos (x + h)-\cos x}{(x+h)-x} \&= \lim_{h\rightarrow 0} \dfrac{\cos x \cos h -\sin x \sin h-\cos x}{h}\&=\lim_{h\rightarrow 0} \dfrac{\cos h -1 }{h}\cos x – \dfrac{\sin h}{h}\sin x\&=(0)\cos x – (1)\sin x\&=-\sin x\end{align})

Par conséquent, d(cos x)/dx = -sin x.

Dérivée de tan x

Nous allons déterminer la dérivée de la fonction tan x en utilisant la règle du quotient. Nous utiliserons les formules et les identités suivantes pour calculer la dérivée :

(sin x)’ = cos x

(cos x)’ = -sin x

tan x = sin x/ cos x

cos2x + sin2

Dérivée de sec x

Formules et identités

Pour calculer la dérivée de sec x, nous utiliserons les formules et identités suivantes :

• sec x = 1/cos x
• tan x = sin x/cos x
• (cos x)’ = -sin x

Règle de la chaîne

Nous utiliserons la règle de la chaîne pour calculer la dérivée de sec x :

(sec x)’ = (1/cos x)’ = (-1/cos2x).(cos x)’

En utilisant la formule (cos x)’, nous obtenons :

(sec x)’ = (-1/cos2x).(-sin x)

En simplifiant, nous avons :

(sec x)’ = sin x/cos2x

En factorisant, nous avons :

(sec x)’ = (sin x/cos x).(1/cos x)

En utilisant la formule tan x = sin x/cos x, nous avons :

(sec x)’ = tan x sec x

Par conséquent, d(sec x)/dx = tan x sec x.

Dérivée de cosec x

Formules et identités

Pour calculer la dérivée de cosec x, nous utiliserons les formules et identités suivantes :

• cosec x = 1/sin x
• cot x = cos x/sin x
• (sin x)’ = cos x

Règle de la chaîne

Nous utiliserons la règle de la chaîne pour calculer la dérivée de cosec x :

(cosec x)’ = (1/sin x)’ = (-1/sin2x).(sin x)’

En utilisant la formule (sin x)’, nous obtenons :

(cosec x)’ = (-1/sin2x).(cos x)

En simplifiant, nous avons :

(cosec x)’ = -cos x/sin2x

En factorisant, nous avons :

(cosec x)’ = -(cos x/sin x).(1/sin x)

En utilisant la formule cot x = cos x/sin x, nous avons :

(cosec x)’ = -cot x cosec x

Par conséquent, d(cosec x)/dx = -cot x cosec x.

Applications de la dérivation des fonctions trigonométriques

La dérivation des fonctions trigonométriques a diverses applications dans le domaine des mathématiques et de la vie réelle. En voici quelques-unes :

• Elle est utilisée pour déterminer la pente de la tangente à une courbe trigonométrique y = f(x).
• Elle est utilisée pour déterminer la pente de la normale à une courbe trigonométrique y = f(x).
• Elle aide à déterminer l’équation de la tangente ou de la normale d’une courbe.
• La dérivation des fonctions trigonométriques a des applications dans différents domaines tels que l’électronique, la programmation informatique et la modélisation de différentes fonctions cycliques.
• Nous utilisons les dérivées des fonctions trigonométriques pour déterminer les valeurs maximales et minimales de fonctions particulières.

Source de référence : https://en.wikipedia.org/wiki/Differentiation_of_trigonometric_functions

Anti-Différentiation des fonctions trigonométriques

L’anti-différentiation des fonctions trigonométriques est le processus inverse de la différentiation des fonctions trigonométriques. Ce processus est également appelé l’intégration des fonctions trigonométriques. La liste des anti-dérivées des fonctions trigonométriques est donnée ci-dessous :

• ∫ sinx dx = -cos x + C
• ∫ cosx dx = sin x + C
• ∫ tanx dx = ln |sec x| + C
• ∫ cotx dx = ln |sin x| + C
• ∫ secx dx = ln |sec x + tan x| + C
• ∫ cosecx dx = -ln |cosec x + cot x| + C

Ici, C est la constante d’intégration.

Notes importantes sur la différentiation des fonctions trigonométriques :

Derivation de sin x :

(sin x)’ = cos x

Derivation de cos x :

(cos x)’ = -sin x

Derivation de tan x :

(tan x)’ = sec2 x

La Différenciation des Fonctions Trigonométriques en Trigonométrie

En trigonométrie, la différenciation des fonctions trigonométriques est un processus mathématique permettant de déterminer le taux de variation des fonctions trigonométriques par rapport à l’angle variable. Le processus de trouver les dérivées des fonctions trigonométriques circulaires est connu sous le nom de différenciation des fonctions trigonométriques.

Les Dérivées des 6 Fonctions Trigonométriques

Les formules de différenciation des six fonctions trigonométriques sont énumérées ci-dessous:

• Sinus: cos(x)
• Cosinus: -sin(x)
• Tangente: sec²(x)
• Cotangente: -csc²(x)
• Sécante: sec(x) * tan(x)
• Cosécante: -csc(x) * cot(x)

Les Applications de la Différenciation des Fonctions Trigonométriques

La différenciation des fonctions trigonométriques a diverses applications dans le domaine des mathématiques et de la vie réelle.

• Elle permet de déterminer l’équation de la ligne tangente ou de la ligne normale d’une courbe.
• La différenciation des fonctions trigonométriques a des applications dans différents domaines tels que l’électronique, la programmation informatique et la modélisation de différentes fonctions cycliques.
• Nous utilisons la différenciation d’une fonction trigonométrique pour déterminer les valeurs maximales et minimales de fonctions particulières.

L’Anti-différenciation des Fonctions Trigonométriques en Trigonométrie

L’anti-différenciation des fonctions trigonométriques est le processus inverse de la différenciation des fonctions trigonométriques. Ce processus est également appelé l’intégration des fonctions trigonométriques.

Les Anti-dérivées des Six Fonctions Trigonométriques

La liste des anti-dérivées des fonctions trigonométriques est donnée ci-dessous:

• Sinus: -cos(x) + C
• Cosinus: sin(x) + C
• Tangente: -ln|cos(x)| + C
• Cotangente: ln|sin(x)| + C
• Sécante: ln|sec(x) + tan(x)| + C
• Cosécante: ln|cosec(x) – cot(x)| + C

Les Dérivées des Fonctions Trigonométriques

Les dérivées des fonctions trigonométriques peuvent être calculées en utilisant diverses méthodes telles que la règle du quotient, le premier principe de la différenciation et la règle de la chaîne, ainsi que certaines formules de limite. Les dérivées des fonctions trigonométriques sont:

• (sin x)’ = cos x
• (cos x)’ = -sin x
• (tan x)’ = sec² x
• (cot x)’ = -cosec² x
• (sec x)’ = sec x.tan x
• (cosec x)’ = -cosec x.cot x

Comment Obtenir les Dérivées des Fonctions Trigonométriques?

Les dérivées des fonctions trigonométriques peuvent être trouvées en utilisant différentes méthodes de différenciation telles que le premier principe de la différenciation, la règle du produit, la règle du quotient et la règle de la chaîne.