Comment trouver le domaine de définition d’une fonction

Le domaine de définition d’une fonction, notée f(x), est l’ensemble des valeurs de x pour lesquelles f(x) existe et produit un résultat. Autrement dit, le domaine de définition est constitué de toutes les valeurs de x qui permettent d’obtenir un résultat dans f(x). Les valeurs de sortie de la fonction, notées y, constituent l’ensemble des images de x.

Si vous êtes régulièrement confronté(e) à la tâche de déterminer le domaine de définition d’une fonction, sachez qu’il existe différentes méthodes de résolution qui dépendent de la nature du problème posé. La méthode appropriée dépendra notamment du type de fonction à traiter.

Tenir compte de quelques éléments de base

Lorsque vous travaillez avec des fonctions mathématiques, il est essentiel de comprendre le domaine de définition. Ce dernier correspond à l’ensemble de toutes les valeurs de x pour lesquelles f(x) existe et produit un résultat. Autrement dit, si vous trouvez un résultat en prenant une valeur pour x et en l’insérant dans l’équation, alors cette valeur de x appartient au domaine de définition.

Principes généraux pour déterminer le domaine de définition

Le domaine de définition peut varier selon le type de fonction mathématique que vous traitez. Voici quelques principes généraux pour déterminer le domaine de définition de différents types de fonctions :

Fonction polynôme

Pour une fonction polynôme sans racine ni inconnue en position de dénominateur, le domaine de définition est l’ensemble des nombres réels, soit l’ensemble R.

Fonction avec une inconnue en dénominateur

Pour une fonction avec une inconnue en position de dénominateur, le domaine de définition est l’ensemble des nombres réels, soit l’ensemble R moins la valeur de x qui annule le dénominateur. Par exemple, si x-2 est en dénominateur, le domaine est R moins la valeur 2.

Fonction avec une inconnue dans une racine

Pour une fonction avec une inconnue dans une racine, le domaine de définition est l’ensemble des nombres réels, R, moins l’ensemble des valeurs de x qui donnent un radicande (expression mathématique sous le symbole de la racine) négatif.

Fonction avec un logarithme

Pour une fonction avec un logarithme type « ln », la valeur dont on prend le logarithme doit être strictement supérieure à 0.

Fonction à partir de sa courbe

Pour une fonction à partir de sa courbe, vous pouvez lire directement sur l’axe des abscisses les valeurs entre lesquelles la courbe s’inscrit pour déterminer le domaine de définition.

Le domaine de définition d’un graphe

Pour un graphe, qui est une liste de points avec les coordonnées x et y, le domaine de définition est tout simplement l’ensemble des abscisses des points, soit les valeurs de x.

Comment écrire correctement le domaine de définition ?

Présenter un domaine de définition est finalement assez simple, mais il faut suivre une norme précise pour présenter la bonne réponse et avoir ainsi tous vos points lors d’un examen. Voici les principes normatifs à connaître pour bien présenter le domaine de définition d’une fonction.

La forme du domaine de définition

Un domaine de définition se présente sous la forme suivante : un crochet ou une parenthèse d’ouverture, suivi(e) par deux bornes (ou valeurs) séparées par une virgule et enfin un crochet ou une parenthèse de fermeture.

L’interprétation des crochets et des parenthèses

Les crochets – [ et ] – indiquent qu’on prend la ou les valeurs qui sont avant ou après lesdits crochets. Par exemple, si on écrit [-1,5), cela signifie que le domaine de définition inclut toutes les valeurs de -1 (compris) à 5 (non compris).

À l’inverse, les parenthèses – ( et ) – indiquent qu’on ne prend pas la ou les valeurs qui sont avant ou après lesdites parenthèses. Dans l’exemple précédent, [-1,5), 5 n’est pas compris dans le domaine de définition. Ce dernier s’arrête donc à 4 999.

Utilisation du symbole « U » pour les intervalles multiples

On utilise aussi le symbole « U » (comme « union ») au cas où le domaine de définition se compose de deux ou plusieurs intervalles.

Comprendre la norme de présentation du domaine de définition d’une fonction

Définition du domaine de définition

Le domaine de définition d’une fonction est l’ensemble des valeurs de x pour lesquelles la fonction existe. En d’autres termes, si une valeur pour x est prise, mise dans l’équation et que cela donne un résultat, alors x fait partie du domaine de définition. L’ensemble de ces valeurs de x constitue le domaine de définition. Il est important de comprendre que le domaine de définition varie en fonction de la fonction que vous avez à traiter.

Pour un graphe, qui est une liste de points avec les coordonnées x et y, le domaine de définition est tout simplement l’ensemble des abscisses des points, soit les valeurs de x.

Présentation du domaine de définition

Il est important de bien présenter le domaine de définition d’une fonction, en suivant une norme précise pour présenter la bonne réponse et avoir ainsi tous vos points lors d’un examen.

Un domaine de définition se présente sous la forme suivante : un crochet ou une parenthèse d’ouverture, suivi(e) par deux bornes (ou valeurs) séparées par une virgule et enfin un crochet ou une parenthèse de fermeture. Par exemple, si on écrit [-1,5), cela signifie que le domaine de définition inclut toutes les valeurs de -1 (compris) à 5 (non compris).

Les crochets – [ et ] – indiquent qu’on prend la ou les valeurs qui sont avant ou après lesdits crochets. Dans l’exemple précédent, [-1,5), -1 est compris dans le domaine de définition.

À l’inverse, les parenthèses – ( et ) – indiquent qu’on ne prend pas la ou les valeurs qui sont avant ou après lesdites parenthèses. Dans l’exemple précédent, [-1,5), 5 n’est pas compris dans le domaine de définition. Ce dernier s’arrête donc à 4 999.

On utilise aussi le symbole « U » (comme « union ») au cas où le domaine de définition se compose deux ou plusieurs intervalles. Par exemple, si le domaine de votre fonction est [-1,5) U (5,10], cela signifie que les valeurs de x qu’on peut utiliser se trouvent dans l’intervalle de -1 à 5, mais que la valeur 5 ne s’y trouve pas.

Le nombre de symboles « U » est illimité. Il arrive que des fonctions un peu complexes aient des domaines composés de plusieurs intervalles.

On peut utiliser les symboles « moins l’infini » (- ∞) ou « plus l’infini » (+ ∞) pour indiquer que les valeurs de x sont illimitées d’un côté ou d’un autre ou des deux à la fois. Avec les symboles infinis, on ne met que des parenthèses – ( ) -, pas des crochets – [ ].

Comment trouver le domaine de définition d’une fonction avec une fraction

Pour trouver le domaine de définition d’une fonction avec une fraction, vous devez suivre les étapes suivantes :

Étape 1 : Écrire l’équation de la fonction

Commencez par écrire l’équation de votre fonction. Par exemple :

f(x) = 2x/(x2 – 4)

Étape 2 : Examiner l’inconnue

Examinez l’inconnue. Dans le cas d’une fonction avec une fraction, l’inconnue est sous la barre de fraction. Comme on ne peut pas diviser un nombre par zéro, il faut éliminer la valeur de x qui donne un dénominateur égal à zéro. Vous devez donc poser l’équation suivante : dénominateur ≠ 0 et la résoudre. Dans notre exemple, cela donne :

x2 – 4 ≠ 0

(x – 2)(x + 2) ≠ 0

x ≠ 2 et x ≠ – 2

Étape 3 : Établir le domaine de définition

Une fois que vous avez résolu l’équation, vous pouvez établir le domaine de définition. Dans notre exemple, le domaine de définition est :

x peut prendre toutes les valeurs sauf 2 et -2

Comment trouver le domaine de définition d’une fonction avec une racine carrée

Analyse du radicande

Lorsqu’on cherche le domaine de définition d’une fonction contenant une racine carrée, il faut commencer par analyser le radicande. En effet, celui-ci doit être forcément positif ou nul pour pouvoir extraire la racine carrée d’un nombre. Il est donc nécessaire de poser l’inéquation suivante : radicande ≧ 0. Cependant, cette condition n’est valable que pour les racines carrées (2) ou les racines à puissance paire (4, 6…). Pour les racines cubiques (3) ou de puissance impaire (5, 7…), cette condition n’est pas nécessaire.

Isolation de l’inconnue

Une fois que l’inéquation a été posée, il est nécessaire d’isoler l’inconnue pour obtenir le domaine de définition. Il suffit d’ajouter ou de soustraire les constantes nécessaires pour obtenir l’inconnue seule à gauche de l’inéquation.

Exemple

Prenons l’équation suivante : y =√(x-7).

En appliquant les étapes ci-dessus, on peut trouver le domaine de définition de la fonction. Tout d’abord, on analyse le radicande :

x-7 ≧ 0

En isolant l’inconnue, on obtient :

x ≧ 7

Le domaine de définition de la fonction est donc :

D = [7, ∞)

Exemple avec une fonction plus complexe

Pour trouver le domaine de définition d’une fonction avec une racine carrée plus complexe, telle que y = 1/√(x2 -4), il est nécessaire de trouver les solutions de l’équation-radicande, x2 -4 = 0. Dans ce cas, il y a deux solutions : 2 et – 2, ce qui nous donne trois intervalles : de – ∞ à -2, de -2 à 2 et de 2 à + ∞. Pour savoir quels intervalles composent le domaine de définition, il faut prendre un x qui est dans chaque intervalle et le mettre dans l’équation. Si le radicande est positif ou nul, l’intervalle est inclus dans le domaine de définition.

Comment trouver le domaine de définition d’une fonction avec une racine carrée

Équation de la fonction

Lorsqu’on cherche le domaine de définition d’une fonction comportant une racine carrée, il faut d’abord écrire l’équation de la fonction.

Prenons l’exemple suivant : y =√(x-7).

Analyse du radicande

Ensuite, il faut analyser le radicande. Le radicande doit être forcément positif ou nul. En effet, on ne peut pas extraire la racine carrée d’un nombre négatif. Par contre, on peut le faire avec 0. Donc, il vous faut poser l’inéquation suivante : radicande ≧ 0. Ceci n’est valable que pour les racines carrées (2) ou les racines à puissance paire (4, 6…). Pour les racines cubiques (3) ou de puissance impaire (5, 7…), cette condition n’est pas nécessaire.

Pour notre exemple, cela donne : x-7 ≧ 0.

Isoler l’inconnue et établir le domaine de définition

Ensuite, il faut isoler l’inconnue à gauche en ajoutant 7 aux deux membres de l’inéquation, ce qui donne : x ≧ 7.

Ainsi, le domaine de définition (D) de la fonction est : D = [7, ∞).

Exemple avec une fonction comportant une racine carrée et une fraction

Maintenant, prenons l’exemple de la fonction suivante : y = 1/√(x2 -4).

Étape 1 : Trouver les solutions de l’équation-radicande

On cherche les solutions de l’équation-radicande : x2 -4 = 0. Il y en a deux : 2 et – 2.

Étape 2 : Identifier les intervalles à prendre en compte

Maintenant, on se retrouve avec trois intervalles : de – ∞ à -2, de -2 à 2 et de 2 à + ∞. Pour savoir ceux qui composent le domaine de définition, il faut suivre ces étapes :

Étape 3 : Vérification de l’intervalle (-∞, -2)

On prend un x qui est dans le premier intervalle (- 3 par exemple) et on le met dans l’équation. On obtient :
(-3)2 – 4 = 9 – 4 = 5. Le radicande est positif, c’est bon, on prend cet intervalle !

Étape 4 : Vérification de l’intervalle (-2, 2)

On prend un x qui est dans le deuxième intervalle (-0 par exemple) et on le met dans l’équation. On obtient :
02 – 4 = 0 -4 = – 4. Le radicande est négatif, ça ne marche pas, on ne prend pas cet intervalle !

Étape 5 : Vérification de l’intervalle (2, +∞)

On prend un x qui est dans le troisième intervalle (3 par exemple) et on le met dans l’équ

Comment trouver le domaine de définition d’une fonction avec un logarithme ?

Inscrivez l’équation de votre fonction

Pour trouver le domaine de définition d’une fonction avec un logarithme, il faut commencer par écrire l’équation de la fonction. Par exemple, prenons l’équation suivante :
f(x) = ln(x-8)

Examinez l’expression entre parenthèses

Pour trouver le domaine de définition d’une fonction logarithmique, il faut examiner l’expression entre parenthèses. Cette expression doit être strictement positive pour que le logarithme puisse être calculé. Dans notre exemple, on a :
x – 8 > 0

Résolvez l’inéquation

La prochaine étape consiste à résoudre l’inéquation que nous avons obtenue à l’étape précédente. Pour isoler l’inconnue, on ajoute 8 des deux côtés :
x > 8

Inscrivez le domaine de définition définitif (D)

Maintenant que l’inéquation est résolue, il ne reste plus qu’à écrire le domaine de définition définitif de la fonction. Dans notre exemple, le domaine de définition est constitué de toutes les valeurs qui vont de 8 (non compris) à + ∞ :
D = (8,∞)

Chercher le domaine de définition d’une fonction à partir de sa courbe

Examiner la courbe de la fonction

Lorsqu’on doit chercher le domaine de définition d’une fonction à partir de sa courbe, il faut commencer par l’examiner attentivement. Il faut repérer les valeurs de x à l’intérieur desquelles s’inscrit la courbe.

Identifier le type de courbe

Il existe différents types de courbes, et selon le type, le domaine de définition sera différent.

• Si la courbe est une droite, elle est sans fin, d’un côté comme de l’autre. Son domaine de définition regroupe n’importe quelle valeur de x, c’est donc l’ensemble des réels.
• Si la courbe est une parabole « verticale », c’est-à-dire qu’elle s’ouvre soit vers le haut soit vers le bas, alors le domaine de définition sera l’ensemble des réels. Prenez n’importe quel x, vous trouverez toujours une valeur « y » qui y est associée.
• Si la courbe est une parabole « horizontale », avec un sommet au point (4,0), elle s’ouvre donc vers la droite. Elle n’ira jamais à gauche de ce point. Le domaine de définition, D, sera [4, ∞).

Tester quelques valeurs pour vérifier le domaine de définition

Si vous avez un doute sur les limites du domaine de définition, testez quelques valeurs de x dans l’équation de la fonction. Cela permet de vérifier rapidement si vous avez correctement identifié le domaine de définition.

Il est donc important de bien examiner la courbe et de bien identifier son type pour déterminer le domaine de définition de la fonction.

Comment chercher le domaine de définition d’un graphe

Lorsqu’on travaille avec un graphe, il est important de connaître son domaine de définition, c’est-à-dire les valeurs que peut prendre la variable indépendante (souvent notée « x »). Voici les étapes pour trouver le domaine de définition d’un graphe :

Notez les éléments du graphe

Le graphe est un ensemble de points avec leurs coordonnées x et y. Par exemple, pour le graphe {(1, 3), (2, 4), (5, 7)}, les valeurs de x sont 1, 2 et 5.

Récupérez les abscisses

Récupérez les valeurs de x pour le graphe en question. Dans l’exemple ci-dessus, les valeurs sont 1, 2 et 5.

Assurez-vous que votre graphe est bien celui d’une fonction

Pour être considéré comme une fonction, chaque valeur de x doit correspondre à une et une seule valeur de y. Si une même valeur de x correspond à plusieurs valeurs de y, le graphe n’est pas celui d’une fonction.

Déterminez le domaine de définition

Le domaine de définition sera alors l’ensemble de toutes les valeurs de x pour lesquelles la fonction est définie. Dans l’exemple ci-dessus, le domaine de définition est D = {1, 2, 5}.

En suivant ces étapes, vous pouvez déterminer facilement le domaine de définition d’un graphe.

Le domaine de définition d’une fonction est l’ensemble des valeurs que peut prendre la variable indépendante, sans que la fonction ne devienne indéfinie ou impossible à calculer. Pour trouver ce domaine, il est important de vérifier plusieurs critères selon le type de fonction considérée.

En fonction des connaissances et des outils à votre disposition, vous pourrez chercher le domaine de définition d’une fonction à partir de son équation, de sa courbe, de son graphe, ou encore de sa représentation sous forme de tableau.

Nous vous proposons des explications détaillées pour chacune de ces méthodes, avec des exemples concrets pour vous aider à mieux comprendre et à appliquer les différentes étapes de calcul.

Bonne lecture !