La factorisation des trinômes consiste à écrire une expression comme le produit de deux ou plusieurs binômes, et s’écrit comme (x + m) (x + n). Un binôme est un polynôme à deux termes tandis qu’un trinôme est un polynôme à trois termes. La factorisation des trinômes se fait en divisant les expressions algébriques en un binôme qui peut être multiplié à nouveau pour obtenir un trinôme. Découvrons-en davantage sur la factorisation des trinômes, les différentes méthodes et résolvons quelques exemples pour mieux comprendre le concept.
Qu’est-ce que la factorisation des trinômes?
La factorisation des trinômes consiste à convertir une expression algébrique d’une expression trinôme en une expression binôme. Un trinôme est un polynôme avec trois termes, ayant une expression générale comme ax2 + bx + c, où a et b sont des coefficients et c est une constante. Il y a trois étapes simples à retenir lors de la factorisation des trinômes :
Étape 1 : Identifier les valeurs de b et c
- Identifier les valeurs de b (terme du milieu) et c (dernier terme).
Étape 2 : Trouver deux nombres
- Trouver deux nombres qui s’additionnent pour donner b et se multiplient pour donner c.
Étape 3 : Utiliser ces nombres pour factoriser l’expression
- Utiliser ces nombres pour factoriser l’expression et obtenir les termes factorisés.
Deux entiers, tels que r et s, sont considérés pour factoriser un trinôme, dont la somme est b et le produit est ac. Nous pouvons réécrire le trinôme comme ax2 + rx + sx + c, puis utiliser le regroupement et la propriété distributive pour factoriser le polynôme. Après que le trinôme ait subi le processus de factorisation, l’expression devient un binôme de la forme (x + r) (x + s). Voici une image pour mieux comprendre cela :
Règles pour la factorisation des trinômes
Pour factoriser un trinôme, il y a des points ou des règles à retenir. Ces règles sont basées sur les signes mathématiques tels que (+) et (-) qui jouent un rôle important dans la factorisation des trinômes et la rendent simple. Les règles sont les suivantes :
Règle 1 : Tous les termes positifs
- Si tous les termes du trinôme sont positifs, alors tous les termes des binômes seront positifs.
Règle 2 : Dernier terme négatif, premier terme et terme du milieu positifs
- Si le dernier terme du trinôme est négatif, mais que le premier terme et le terme du milieu sont positifs, alors l’un des termes du binôme sera négatif et l’autre sera positif. (Le facteur le plus grand sera positif et le plus petit sera négatif).
Règle 3 : Terme du milieu et dernier terme négatifs, premier terme positif
- Si le terme du milieu et le dernier terme du trinôme sont négatifs et que le premier terme est positif, alors le signe d’un binôme sera positif et l’autre sera négatif. (Le facteur le plus grand sera négatif et le plus petit sera positif).
Règle 4 : Dernier terme et premier terme positifs, terme du milieu négatif
- Si le dernier terme et le premier terme du trinôme sont positifs, mais que le terme du milieu est négatif, alors les deux signes des binômes seront négatifs.
Règle 5 : Chercher les facteurs communs
- Rechercher les facteurs communs pour le trinôme ax2 + bx + c, où a est égal à 1. D’abord factoriser le facteur commun, puis factoriser le reste de l’expression.
Règle 6 : Facteur négatif
- Si ax2 est négatif dans un trinôme, vous pouvez d’abord factoriser -1 de l’ensemble du trinôme.
Méthodes de Factorisation de Trinômes
Trinôme Quadratique en Une Variable
La forme générale d’un trinôme quadratique en une variable est ax2 + bx + c, où a, b, c sont des termes constants et aucun d’entre eux n’est égal à zéro. Si b2 – 4ac > 0, alors on peut toujours factoriser un trinôme quadratique. Cela signifie que ax2 + bx + c = a(x + h)(x + k), où h et k sont des nombres réels. Voyons maintenant comment factoriser un trinôme quadratique avec un exemple.
Exemple: Factoriser: 3×2 – 4x – 4
Solution:
Étape 1: Multiplier le coefficient de x2 et le terme constant.
3 × -4 = -12
Étape 2: Casser le terme du milieu -4x de telle sorte que la multiplication des nombres obtenus donne -12 (obtenu à partir de la première étape).
-4x = -6x + 2x
-6 × 2 = -12
Étape 3: Réécrire l’équation principale en appliquant le changement dans le terme du milieu.
3×2 – 4x – 4 = 3×2 – 6x + 2x – 4
Étape 4: Combiner les deux premiers termes et les deux derniers termes, simplifier l’équation et retirer les nombres ou expressions communs.
3×2 – 6x + 2x – 4 = 3x (x – 2) + 2(x – 2)
Étape 5: Prendre à nouveau (x – 2) en commun des deux termes.
3x (x – 2) + 2(x – 2) = (x – 2) (3x + 2)
Par conséquent, (x – 2) et (3x + 2) sont les facteurs de 3×2 – 4x – 4.
Trinôme Quadratique en Deux Variables
Il n’y a pas de méthode spécifique pour résoudre un trinôme quadratique en deux variables. Prenons un exemple.
Exemple: Factoriser: x2 + 3xy + 2y2
Solution:
Étape 1: Ces types de trinômes suivent également la même règle que ci-dessus, c’est-à-dire, nous devons casser le terme du milieu.
x2 + 3xy + 2y2 = x2 + 2xy + xy + 2y2
Étape 2: Simplifier l’équation et retirer les nombres ou expressions communs.
x2 + 2xy + xy + 2y2 = x (x + 2y) + y (x + 2y)
Étape 3: Prendre à nouveau (x + 2y)
Coefficient principal de 1
Jetons un coup d’œil à un exemple.
Exemple : Factoriser x2 + 7x + 12
Solution :
Étape 1 : Comparer l’équation donnée avec la forme standard pour obtenir les coefficients.
ax2 + bx + c est la forme standard, en comparant l’équation x2 + 7x + 12 nous obtenons a = 1, b = 7, et c = 12.
Étape 2 : Trouver les facteurs appariés de c, c’est-à-dire 12, de telle manière que leur somme soit égale à b, c’est-à-dire 7.
Les facteurs appariés de 12 sont (1, 12), (2, 6), et (3, 4). Par conséquent, la paire appropriée est 3 et 4.
Étape 3 : Ajouter chaque nombre à x séparément.
(x + 3) (x + 4)
Par conséquent, (x + 3) (x + 4) sont les facteurs de x2 + 7x + 12.
Factorisation avec PGCD
Quand le trinôme doit être factorisé et que le coefficient principal n’est pas égal à 1, le concept de PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) est appliqué. Voyons les étapes :
- Étape 1 : Écrire le trinôme en ordre décroissant, du terme de plus haut degré au terme de plus bas degré. Trouver le PGCD par factorisation.
- Étape 2 : Trouver le produit du coefficient principal ‘a’ et de la constante ‘c’. Trouver les facteurs du produit ‘a’ et ‘c’. Choisir une paire dont la somme donne le nombre ‘b’.
- Étape 3 : Réécrire l’équation originale en remplaçant le terme “bx” par les facteurs choisis. Factoriser l’équation par regroupement.
Cas des termes négatifs
Dans certaines situations, ‘a’ est négatif, comme dans −ax2 + bx + c. Pour simplifier la factorisation du trinôme, on peut factoriser -1 en tant que premier pas à partir de ax2, ce qui change les signes de l’expression entière. Voyons un exemple :
Exemple : Factoriser -4×2 – 8x – 3.
Solution :
Étape 1 : Factoriser -1 de l’expression, ce qui change les signes de l’expression entière.
-1 (4×2 + 8x + 3)
Étape 2 : Multiplier le premier terme et le terme constant.
4 × 3 = 12
Étape 3 : Décomposer le terme du milieu 8x de telle manière que la multiplication des nombres obtenus donne le résultat 12 (obtenu à partir de l’étape précédente).
8x = 6x + 2x 6 × 2 = 12
Étape 4 : Réécrire le terme du milieu et les grouper.
-1 (4×2 + 6x + 2x + 3)
Étape 5 : Factoriser les termes groupés.
-1 (2x[2x + 1] + 3[2x + 1])
Étape 6 : Écrire comme un binôme.
-1 [(2x + 1)(2x + 3)]
(-2x -1)(2x -3)
Par conséquent, (-2x -1) (2x -3) sont les facteurs de -4×2 – 8x – 3.
Source de référence : https://en.wikipedia.org/wiki/Factorization
Formule de factorisation de trinômes
Trinômes carrés parfaits
Un trinôme peut être un carré parfait ou un carré non parfait. Nous avons deux formules pour factoriser un trinôme carré parfait. Mais pour factoriser un trinôme carré non parfait, nous n’avons pas de formule spécifique, mais plutôt un processus.
Les formules de factorisation des trinômes carrés parfaits sont :
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
Pour appliquer l’une de ces formules, le trinôme doit être sous la forme a2 + 2ab + b2 ou a2 – 2ab + b2.
Processus de factorisation d’un trinôme non parfait
Le processus de factorisation d’un trinôme non parfait ax2 + bx + c est le suivant :
Étape 1 : Trouver ac et identifier b.
Étape 2 : Trouver deux nombres dont le produit est ac et dont la somme est b.
Étape 3 : Diviser le terme du milieu en deux termes en utilisant les nombres de l’étape 2.
Étape 4 : Factoriser par regroupement.
Formules de factorisation générale
Pour factoriser un trinôme de la forme ax2 + bx + c, nous pouvons utiliser l’une des formules suivantes :
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 = (a + b) (a + b)
a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 = (a – b) (a – b)
a2 – b2 = (a + b) (a – b)
a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)
a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)
