Les fonctions trigonométriques de base sont les formules sin et cos qui se rapportent aux angles et aux rapports des côtés d’un triangle rectangle. Le sinus d’un angle est le rapport de l’hypoténuse et du côté opposé et le cosinus d’un angle est le rapport de l’hypoténuse et du côté adjacent. Ceux-ci forment des identités fondamentales définies pour des angles aigus. L’extension de ces rapports à n’importe quel angle en termes de mesure en radians est appelée fonction trigonométrique. Sin est positif dans le premier et le deuxième quadrant et cos est positif dans le premier et le quatrième quadrant. La plage des fonctions sinus et cosinus est [-1,1] dans le domaine des nombres réels.

Qu’est-ce que les formules Sin Cos ?

Si (x, y) est un point sur le cercle unité et si un rayon partant de l’origine (0, 0) vers (x, y) forme un angle θ par rapport à l’axe positif, alors x et y satisfont le théorème de Pythagore x2 + y2 = 1, où x et y sont les longueurs des côtés d’un triangle rectangle. Ainsi, la formule de base Sin Cos devient cos2θ + sin2θ = 1.

Identités Sin Cos

Il existe de nombreuses identités liées au sinus et au cosinus qui sont appliquées dans les fonctions trigonométriques. Toutes les expressions trigonométriques sont plus simples à évaluer à l’aide de ces formules trigonométriques. Discutons-en en détail.

Formules Sin Cos pour des angles aigus

Pour tout angle aigu θ, les fonctions des angles négatifs sont :

sin(-θ) = -sinθ
cos(-θ) = cosθ

Identités exprimant les fonctions trigonométriques en termes de leurs compléments :

cosθ = sin(90° – θ)
sinθ = cos(90° – θ)

Formules de somme et de différence de Sin Cos

Un angle qui est constitué de la somme ou de la différence de deux ou plusieurs angles est appelé un angle composé. Nous notons les angles composés α et β. Il existe des formules Sin Cos par rapport aux angles composés pour étendre ou simplifier les expressions trigonométriques. En voici quelques-unes :

sin(α + β) = sinα cosβ + cosα sinβ
sin(α – β) = sinα cosβ – cosα sinβ
cos(α + β) = cosα cosβ – sinα sinβ
cos(α – β) = cosα cosβ + sinα sinβ

Lire: Factorisation des trinômes - Définition, Règles, Méthodes, Formule, Exemples.

Les bases:

Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l’angle droit est l’hypoténuse, et les deux autres côtés sont respectivement le côté adjacent et le côté opposé. Les ratios trigonométriques sont donnés par cosθ = adjacent/hypoténuse et sinθ = opposé/hypoténuse.

Calcul de la tangente:

Le rapport de sinus et cosinus est égal à la tangente de cet angle, tanθ = sinθ/cosθ.

Comment trouver cos à partir de sin?

Dans n’importe quel triangle rectangle, le sinus est le côté opposé/hypoténuse. Ainsi, en connaissant ces deux côtés, le côté adjacent est trouvé et appliqué à la formule de cosinus qui est le côté adjacent/hypoténuse.

Formule Cos:

Le cosinus d’un angle est le sinus de l’angle complémentaire. cosθ = sin(90°-θ).

Transformation des formules sin et cos

Identités de produit à somme

Les identités de produit à somme sont utilisées lorsqu’on a un produit de cosinus. Nous exprimons le produit sous forme de somme ou de différence, écrivons la formule, substituons les angles donnés et finalement simplifions. Les formules de produit à somme sont les suivantes :

2 sin α cos β = sin (α + β) + sin (α – β)
2 cos α sin β = sin (α + β) – sin (α – β)
2 cos α cos β = cos (α + β) + cos (α – β)
2 sin α sin β = cos (α – β) – cos (α + β)

Identités de somme à produit

Les identités de somme à produit nous permettent d’exprimer des sommes de sinus ou de cosinus en produits. Ces formules sont les suivantes :

sin α + sin β = 2 sin((α+β)/2) cos((α−β)/2)
sin α – sin β = 2 cos((α+β)/2) sin((α−β)/2)
cos α + cos β= 2 cos((α+β)/2) cos((α−β)/2)
cos α – cos β = -2 sin((α+β)/2) sin((α-β)/2)

Lire: Définition de Perpendiculaire - Signification, Exemples | Définition des Lignes Perpendiculaires

Dérivation des formules de produit à somme

Nous pouvons dériver la formule de produit à somme en utilisant les identités de somme et de différence pour le cosinus. En ajoutant les deux équations, nous obtenons :
cosα cosβ + sinα sinβ = cos(α − β)

cosα cosβ − sinα sinβ = cos(α + β)

En simplifiant cette expression, nous pouvons isoler le produit de cosinus :
2cosα cosβ = cos(α−β) + cos(α + β)
cosα cosβ = (1/2)[cos(α−β) + cos(α+β)]

Nous pouvons également dériver les autres formules en exprimant les produits sous forme de somme/différence.

Derivation des formules de somme à produit

Dans certains problèmes, nous avons besoin de la formule inverse de la formule produit à somme. Voyons comment dériver ces formules de somme à produit.

Substitutions

Pour cela, utilisons quelques substitutions telles que (u+v)/2 = α et (u-v)/2 = β. Ainsi, α + β = [(u+v)/2] + [(u- v)/2] = u et α – β = [(u + v)/2] – [(u- v)/2] = v.

Dérivation de la formule de somme à produit

Nous allons dériver la formule de somme à produit en remplaçant α et β dans la formule de produit à somme.

Considérons (sinα cosβ) = (1/2)[sin(α + β) + sin(α – β)]. En substituant pour (α + β) et αβ, nous obtenons sin((u+v)/2) cos ((u-v)/2) = 1/2[sinu + sin v].

En multipliant les deux côtés par 2, nous avons 2sin((u+v)/2)) cos ((u-v)/2) = sinu + sin v.

De manière similaire, nous pouvons dériver les autres identités de somme à produit.

Source de référence : https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_trigonometric_identities

Formules Sin Cos pour les angles multiples

Nous avons plusieurs formules pour les angles multiples en trigonométrie, qui sont utiles pour résoudre les problèmes. Voyons quelques-unes de ces formules.

Formules pour les angles doubles et triples

sin 2θ = 2 sinθ cosθ
sin 3θ = 3 sinθ – 4 sin3θ
cos 2θ = cos2 θ – sin2 θ
cos 2θ = 2cos2θ – 1
cos 2θ = 1- 2sin2 θ
cos 3θ = 4 cos3θ – 3cosθ

Formules pour les demi-angles

sin (θ/2) = ± √((1- cosθ)/2)
cos (θ/2) = ± √((1+ cosθ)/2)

Lire: L'axe de symétrie - Équation, Formule, Définition, Exemples, Parabole

Formules pour les angles en fonction de la moitié de l’angle

sin θ = 2tan (θ/2) /(1 + tan2 (θ/2))
cos θ = (1-tan2 (θ/2))/(1 + tan2 (θ/2))

Visualisation des concepts mathématiques

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