La fonction cosécante est la réciproque de la fonction sinus. Il existe six fonctions trigonométriques principales : sinus, cosinus, tangente, cotangente, sécante et cosécante. Il est important de noter que la fonction cosécante n’est pas la fonction inverse du sinus, c’est-à-dire que la cosécante n’est pas l’inverse du sinus. Ainsi, nous avons la cosécante qui est la réciproque du sinus.
Dans cet article, nous allons apprendre les propriétés de la fonction cosécante, c’est-à-dire sa formule, son domaine, son ensemble de définition, sa dérivée, son intégrale et son graphique.
Qu’est-ce que la réciproque du sinus ?
La réciproque de la fonction sinus est une fonction trigonométrique appelée la fonction cosécante. La réciproque de la fonction cosécante est la fonction sinus elle-même. Le produit de la réciproque du sinus et de la fonction sinus est toujours égal à 1. La réciproque du sinus est écrite comme cosec x = 1/sin x. La fonction cosécante, qui est la réciproque du sinus, est le rapport de l’hypoténuse à la perpendiculaire dans un triangle rectangle.
Formule de la réciproque du sinus
Puisque la fonction sinus est le rapport des longueurs du côté opposé à l’angle considéré et de l’hypoténuse dans un triangle rectangle, la réciproque du sinus est le rapport de l’hypoténuse et du côté opposé d’un triangle rectangle. En d’autres termes, la réciproque du sinus est le rapport de l’hypoténuse à la perpendiculaire dans un triangle rectangle. La formule de la réciproque du sinus est :
- Réciproque du sinus = fonction cosécante = cosec x = 1/sin x = Hypoténuse/Perpendiculaire
Domaine et Plage du Réciproque du Sinus
Puisque le réciproque du sinus est la fonction cosécante et que sa formule est 1/sin x, elle est définie pour toutes les valeurs de x sauf les valeurs où sin x est nul car 1/sin x devient indéfini lorsque sin x = 0. Nous savons que sin x est nul à tous les multiples entiers de π, c’est-à-dire nπ, où n est un entier. Par conséquent, le domaine du réciproque du sinus est tous les nombres réels sauf nπ, où n est un entier. La plage du réciproque du sinus est (-∞ , -1] U [1, + ∞).
Graphique du Réciproque du Sinus
Le graphique du réciproque du sinus, c’est-à-dire de la cosécante, est un graphique discontinu. La longueur du cycle de la fonction réciproque du sinus (la période après laquelle elle commence à se répéter) est de 2π. Ainsi, pour chaque valeur de x dans le domaine, nous pouvons dire que cosec(x+2π) = cosec x.
Lorsque θ = 0°, sin θ = 0 et csc 0 = non défini, nous ne pouvons pas évaluer csc θ.
Lorsque θ = 90°, sin θ = 1, csc θ = 1
Lorsque θ = -90°, sin θ = – 1, csc θ = -1
Lorsque θ = ± 180°, sin θ = 0, csc 0 = non défini
Lorsque θ = 270°, sin θ = -1, csc θ = – 1
Si θ est très petit et positif, sin θ est positif et donc
Propriétés du réciproque du sinus
Désormais, que nous avons étudié de nombreux faits et formules du réciproque du sinus, examinons quelques-unes des propriétés importantes du réciproque du sinus :
- La fonction cosécante est le réciproque de la fonction sinus: La fonction cosécante est le réciproque de la fonction sinus.
- La cosécante tend vers l’infini lorsque le sinus tend vers zéro: Lorsque sin x tend vers zéro, la coséc x tend vers l’infini.
- Le graphique du réciproque du sinus a une période de 2π: Le graphique du réciproque du sinus a une période de 2π.
- La cosécante de 0 n’est pas définie et aux points nπ, le graphique de la cosécante a des asymptotes verticales: La cosécante de 0 n’est pas définie et aux points nπ, le graphique de la cosécante a des asymptotes verticales.
- Le réciproque de la fonction sinus est symétrique par rapport à l’axe des x: Le réciproque de la fonction sinus est symétrique par rapport à l’axe des x. C’est une fonction impaire, c’est-à-dire que coséc(−θ) = −coséc θ.
Notes importantes sur le réciproque du sinus
- Lorsque le sinus atteint sa valeur maximale de 1, le réciproque du sinus atteindra sa valeur de 1
- Lorsque le sinus atteint sa valeur minimale de –1, le réciproque du sinus atteindra sa valeur de –1
- Lorsque le sinus est positif < 1, le réciproque du sinus sera positif >1
- Lorsque le sinus est négatif mais > –1, le réciproque du sinus sera négatif mais < –1
Qu’est-ce que la réciproque du sinus en trigonométrie?
La réciproque de la fonction sinus est une fonction trigonométrique appelée la fonction cosécante.
Quelle est la formule de la réciproque du sinus?
La réciproque du sinus est le rapport de l’hypoténuse et du côté opposé d’un triangle rectangle. La formule de la réciproque du sinus est :
Réciproque du sinus = fonction cosécante
= cosec x
= 1/sin x
= Hypoténuse/Perpendiculaire
Pourquoi la cosécante est-elle la réciproque du sinus?
Étant donné que la fonction sinus est le rapport des longueurs du côté opposé à l’angle considéré et de l’hypoténuse dans un triangle rectangle, la réciproque du sinus est le rapport de l’hypoténuse et du côté opposé d’un triangle rectangle, qui est la formule pour la fonction cosécante. Ainsi, la cosécante est la réciproque du sinus.
Comment trouver la réciproque du sinus?
La réciproque du sinus peut être calculée en utilisant la formule 1/sin x = Hypoténuse/Perpendiculaire.
La cosécante est-elle la réciproque du sinus?
Oui, la cosécante est la réciproque de la fonction sinus, car cosec x = 1/sin x = Hypoténuse/Côté Opposé.
Quel est le rapport de la réciproque du sinus?
Le rapport de la réciproque du sinus est égal au rapport de l’hypoténuse et de la perpendiculaire du triangle rectangle, c’est-à-dire, l’Hypoténuse/Perpendiculaire.
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Source de référence : https://en.wikipedia.org/wiki/Sine_and_cosine
