L’axe de symétrie est une ligne droite imaginaire qui divise une forme en deux parties identiques, créant ainsi une partie comme l’image miroir de l’autre partie. Lorsqu’on le plie le long de l’axe de symétrie, les deux parties se superposent. La ligne droite est appelée ligne de symétrie/la ligne de miroir. Cette ligne peut être verticale, horizontale ou oblique.
Nous pouvons observer cet axe de symétrie même dans la nature, tels que les fleurs, les rives de rivières, les bâtiments, les feuilles, etc. Nous pouvons l’observer dans le Taj Mahal, la structure emblématique en marbre en Inde.
Qu’est-ce que l’axe de symétrie ?
L’axe de symétrie est une ligne droite qui rend la forme de l’objet symétrique. L’axe de symétrie crée les réflexions exactes de chaque côté. Il peut être horizontal, vertical ou latéral. Si nous plions et déplions un objet le long de l’axe de symétrie, les deux côtés sont identiques. Différentes formes ont différentes lignes de symétrie. Un carré a quatre lignes de symétrie, un rectangle a deux lignes de symétrie, un cercle a une infinité de lignes de symétrie et un parallélogramme n’a pas de ligne de symétrie. Un polygone régulier de ‘n’ côtés a ‘n’ axes de symétrie.
Définition de l’axe de symétrie
L’axe de symétrie est une ligne imaginaire qui divise une figure en deux parties identiques, de sorte que chaque partie est un reflet miroir l’une de l’autre. Lorsque la figure est pliée le long de l’axe de symétrie, les deux parties identiques se superposent.
Axe de symétrie d’une parabole
Une parabole a une ligne de symétrie. L’axe de symétrie est la ligne droite qui divise une parabole en deux parties symétriques. La parabole peut prendre quatre formes. Elle peut être soit horizontale ou verticale, orientée vers la gauche ou vers la droite. L’axe de symétrie détermine la forme de la parabole.
- Si l’axe de symétrie est vertical, alors la parabole est verticale (s’ouvre vers le haut/vers le bas).
- Si elle est horizontale, alors la parabole est horizontale (s’ouvre vers la gauche/vers la droite).
L’axe de symétrie qui est horizontal a une pente nulle, et l’axe de symétrie qui est vertical a une pente indéfinie.
Équation de l’axe de symétrie
Le sommet est le point où l’axe de symétrie croise la parabole. C’est le point clé pour déterminer son équation. Si la parabole s’ouvre vers le haut ou vers le bas, l’axe de symétrie est vertical et dans ce cas, son équation est la ligne verticale qui passe par son sommet. Si la parabole s’ouvre vers la droite ou la gauche, l’axe de symétrie est horizontal et son équation est la ligne horizontale qui passe par son sommet, c’est-à-dire,
- L’équation de l’axe de symétrie d’une parabole dont le sommet est (h, k) et qui s’ouvre vers le haut/bas est x = h.
- L’équation de l’axe de symétrie d’une parabole dont le sommet est (h, k) et qui s’ouvre vers la gauche/droite est y = k.
Formule de l’axe de symétrie
La formule de l’axe de symétrie est utilisée pour les équations quadratiques où la forme standard de l’équation et la ligne de symétrie sont utilisées. Une ligne qui divise ou bifurque un objet en deux moitiés égales, dont les deux moitiés sont des images miroir l’une de l’autre, est appelée axe de symétrie. Cette ligne d’axe qui divise les objets peut être l’une des trois types suivants : horizontal (axe des x), vertical (axe des y) ou ligne inclinée.
Formule de l’axe de symétrie
L’équation de l’axe de symétrie peut être représentée lorsque la parabole est sous deux formes:
Forme standard
Forme de sommet
Forme standard
L’équation quadratique en forme standard est, y = ax2 + bx + c où a, b et c sont des nombres réels.
La formule de l’axe de symétrie est : x = -b/2a.
Forme de sommet
L’équation quadratique en forme de sommet est, y = a(x-h)2 + k où (h, k) est le sommet de la parabole.
La formule de l’axe de symétrie est x = h.
Dérivation de l’Axe de Symétrie pour une Parabole
Une parabole est une courbe plane qui peut être obtenue en coupant un cône par un plan parallèle à sa surface latérale. L’axe de symétrie d’une parabole est la ligne droite qui divise la courbe en deux parties symétriques.
Formule de l’axe de symétrie
La formule de l’axe de symétrie pour une parabole est x = -b/2a, où a et b sont les coefficients de la forme standard de l’équation quadratique y = ax² + bx + c.
Dérivation de l’équation de l’axe de symétrie
Considérons l’équation quadratique y = ax² + bx.
Pour trouver l’axe de symétrie, nous devons d’abord trouver les x-intercepts de la parabole. Les x-intercepts sont les points où la courbe coupe l’axe des x. En substituant y par 0 dans l’équation, nous obtenons les deux x-intercepts suivants:
x(ax+b)=0
x = 0 et (ax+b)=0
x = 0 et x = -b/a
La formule pour trouver le point milieu entre deux points est donnée par la formule suivante: x = (x1 + x2) / 2. Dans ce cas, les deux x-intercepts sont x = 0 et x = -b/a. Le point milieu entre ces deux points est donc:
x= [0 + (-b/a)] / 2
x = -b/2a
Nous avons ainsi dérivé la formule de l’axe de symétrie pour une parabole.
Cas d’une parabole ouverte à gauche ou à droite
Si la parabole est ouverte à gauche ou à droite plutôt qu’en haut ou en bas, nous devons trouver le point milieu des y-intercepts plutôt que des x-intercepts. Les y-intercepts sont les points où la courbe coupe l’axe des y. Nous pouvons utiliser la même méthode que pour les x-intercepts, mais cette fois en substituant x par 0.
Trouver l’Axe de Symétrie
Exemple 1
Trouvons l’axe de symétrie de l’équation quadratique y = x² – 4x + 3.
Solution
Nous avons: y = x² – 4x + 3.
En utilisant la formule de l’axe de symétrie, nous avons:
x = -b/2a
x = -(-4)/2(1)
x = 4/2
= 2
L’axe de symétrie de l’équation y = x² – 4x + 3 est donc x = 2.
Exemple 2
Trouvons l’axe de symétrie d’une parabole y = 4x².
Solution
En utilisant la formule de l’axe de symétrie, nous avons:
x = -b/2a
x = -(0)/2(4)
x = 0
L’axe de symétrie de la parabole y = 4x² est donc x = 0.
Identification de l’axe de symétrie
Identification de l’axe de symétrie pour une parabole donnée
Pour identifier l’axe de symétrie d’une parabole, on peut utiliser la formule apprise dans la section précédente. Voici deux exemples :
Exemple 1
Considérons l’équation y = x2- 3x + 4. En comparant cette équation à l’équation de la forme standard d’une parabole (y = ax2 + bx + c), nous avons a = 1, b = -3 et c = 4. Comme c’est une parabole verticale, elle a un axe de symétrie vertical. Nous savons que x = -b/2a est l’équation de l’axe de symétrie.
Ainsi, x = -(-3)/2(1) = 1.5 est l’axe de symétrie de la parabole y = x2- 3x + 4.
Exemple 2
Considérons l’équation x = 4y2+5y+3. En comparant cette équation à la forme standard de l’équation quadratique, nous avons a = 4, b = 5 et c = 3. Comme il s’agit d’une parabole horizontale, son axe de symétrie est également horizontal. Nous savons que y = -b/2a est l’équation de l’axe de symétrie.
Ainsi, y = -b/2a = -5/2(4) = -0.625 est l’axe de symétrie de la parabole x = 4y2+5y+3.
Identification de l’axe de symétrie à partir de deux points donnés
Si deux points sont à la même distance du sommet de la parabole, alors nous pouvons déterminer l’équation de l’axe de symétrie en trouvant le milieu de ces deux points. Par exemple, si les deux points (3, 4) et (9, 4) sont sur une parabole, alors le sommet passe par l’intercept qui forme le milieu de ces deux points. Ainsi, x = (3+9)/2 = 12/2 = 6. Par conséquent, l’équation de l’axe de symétrie est x = 6.
Résolution d’équations quadratiques
Calcul de la valeur de q à partir de l’axe de symétrie
L’axe de symétrie est une ligne imaginaire qui divise une figure en deux parties identiques qui sont des images miroir l’une de l’autre. Pour une parabole y = ax2 + bx + c, l’axe de symétrie est donné par la formule :
x = -b/2a
Exemple de question
Si l’axe de symétrie de l’équation y = qx2 – 32x – 10 est 8, quelle est la valeur de q ?
Solution
On a :
y = qx2 – 32x – 10
L’axe de symétrie est x = 8.
En utilisant la formule :
x = -b/2a
avec a = q, b = -32 et x = 8
On a :
8 = -(-32) / (2 × q)
8 = 32/2q
16q = 32
q = 2
Par conséquent, la valeur de q est 2.
Notes importantes sur l’axe de symétrie
- Un polygone régulier de ‘n’ côtés a ‘n’ axes de symétrie.
Source de référence : https://en.wikipedia.org/wiki/Parabola
L’axe de symétrie en algèbre
Définition de l’axe de symétrie
L’axe de symétrie est une ligne imaginaire qui divise une figure en deux parties identiques qui sont des images miroir l’une de l’autre. Par exemple, un carré a 4 axes de symétrie et un rectangle en a 2.
La formule de l’axe de symétrie
La formule de l’axe de symétrie utilise la forme standard de l’équation quadratique ainsi que la forme de sommet. L’axe de symétrie coupe toute forme géométrique en deux parties égales. La formule de l’axe de symétrie est donnée par :
x = -b/2a
pour une équation quadratique avec une forme standard de y = ax2 + bx + c. Si la parabole est en forme de sommet y = a(x-h)2 + k, alors la formule est x = h.
Exemple de formule de l’axe de symétrie pour la forme standard
La formule utilisée pour trouver l’axe de symétrie d’une équation quadratique avec une forme standard de y = ax2 + bx + c, est :
x = -b/2a
Qu’est-ce que la formule de l’axe de symétrie pour la forme de sommet?
L’équation quadratique est représentée sous la forme de sommet comme suit: y = a(x−h)2 + k, où (h, k) est le sommet de la parabole. Étant donné que l’axe de symétrie et la forme de sommet se trouvent sur la même ligne, la formule est x = h.
Trouver l’axe de symétrie de l’équation quadratique y = 5×2 – 10x + 3.
Étant donné: y = 5×2 – 10x + 3
En utilisant la formule de l’axe de symétrie,
x = -b/2a
x = -(-10)/2(5)
x = 10/10
x = 1
Par conséquent, l’axe de symétrie de l’équation y = 5×2 – 10x + 3 est x = 1.
Qu’est-ce que l’axe de symétrie d’une parabole?
L’axe de symétrie est la ligne droite qui divise une parabole en deux parties symétriques. Il passe par le sommet de la parabole. L’axe de symétrie d’une parabole peut être horizontal ou vertical.
Qu’est-ce que la formule de l’axe de symétrie pour la forme de sommet?
L’équation quadratique est représentée sous la forme de sommet comme suit: y = a(x−h)2 + k, où (h, k) est le sommet de la parabole. Étant donné que l’axe de symétrie et la forme de sommet se trouvent sur la même ligne, la formule est x = h.
Comment trouver l’axe de symétrie à l’aide de la forme de sommet de l’équation?
L’équation quadratique sous la forme de sommet est y = a(x-h)2+k. L’axe de symétrie est l’endroit où le sommet intersecte la parabole au point représenté par le sommet (h, k). h est la coordonnée x. Et dans la forme de sommet, x = h et h =-b/2a où b et a sont les coefficients dans la forme standard de l’équation, y = ax2 + bx + c.
Qu’est-ce que l’axe de symétrie sur un graphique?
La ligne horizontale ou verticale sur le graphique qui passe par le sommet de la parabole forme l’axe de symétrie d’une parabole. Dans le cas de tout autre graphique, l’axe de symétrie est l’équation d’une ligne qui divise la figure en deux parties égales où l’une est l’image miroir de l’autre.
L’axe de symétrie est-il le même que la ligne de symétrie?
Oui, la ligne de symétrie et l’axe de symétrie sont les mêmes. Ce sont des lignes imaginaires qui divisent une figure en deux parties identiques et chaque partie est une image miroir l’une de l’autre. Lorsque la figure est pliée le long de cette ligne, les deux parties se superposent.
