La longueur de l’arc est mieux définie comme la distance le long de la partie de la circonférence d’un cercle ou de toute courbe (arc). Toute distance le long de la ligne courbe qui constitue l’arc est appelée longueur de l’arc. Une partie d’une courbe ou d’une circonférence d’un cercle est appelée arc. Tous ont une courbe dans leur forme. La longueur d’un arc est plus longue que n’importe quelle distance en ligne droite entre ses points d’extrémité (une corde).
En particulier, la longueur d’un arc d’un cercle de rayon ‘r’ qui sous-tend un angle θ au centre est calculée par la formule rθ × (π/180) si l’angle est en degrés et si l’angle est en radians, alors la longueur de l’arc est rθ. Voyons comment dériver ces formules.
Qu’est-ce que la longueur d’arc?
La longueur d’arc est définie comme l’espace entre deux points le long d’une section d’une courbe. Un arc d’un cercle est une partie de la circonférence. L’angle sous-tendu par un arc à n’importe quel point est l’angle formé entre les deux segments de droite rejoignant le centre aux points d’extrémité de l’arc. Par exemple, dans le cercle illustré ci-dessous, OP est l’arc du cercle avec le centre Q. La longueur d’arc de cet arc OP est donnée comme L.
Formule pour la longueur d’arc d’un cercle
En particulier, la longueur d’un arc d’un cercle de rayon ‘r’ qui sous-tend un angle θ au centre est calculée par la formule suivante:
Pour un angle en degrés:
Longueur d’arc = r × θ × (π/180)
Pour un angle en radians:
Longueur d’arc = r × θ
où r est le rayon du cercle et θ est l’angle sous-tendu par l’arc.
Exemple d’utilisation de la formule
Supposons que nous avons un cercle avec un rayon de 5 unités et un angle sous-tendu par l’arc de 60 degrés. En utilisant la formule pour un angle en degrés, nous pouvons calculer la longueur de l’arc comme suit:
Longueur d’arc = 5 × 60 × (π/180) = 5 × π/3 ≈ 5.24 unités
Ainsi, la longueur de l’arc dans cet exemple serait d’environ 5.24 unités.
Formule de la longueur d’arc
Pour dériver la formule de la longueur d’arc, rappelons-nous d’abord ce qu’est la circonférence d’un cercle complet de rayon ‘r’. Elle est de 2πr. Mais un arc n’est qu’une partie (en fait une fraction) de la circonférence totale. Nous savons que l’angle au centre dans un cercle complet est de 360°. Si l’angle sous-tendu par un arc est θ°, cela signifie que l’arc occupe une fraction de θ/360 de la circonférence totale. Ainsi : Longueur d’arc = θ/360 de 2πr = θ/360 × 2πr = rθ × π/180. C’est la formule de la longueur d’arc lorsque l’angle est en degrés. La longueur d’un arc peut être calculée en utilisant différentes formules, en fonction de l’unité de l’angle central de l’arc. Les mesures de l’angle central peuvent être données en degrés ou en radians, et en conséquence, nous calculons la longueur d’arc d’un cercle.
Formule de la longueur d’arc en radians
Si θ est en radians, alors l’angle en degrés = θ × 180/π. En substituant cela dans la formule ci-dessus, Longueur d’arc = rθ × π/180 × 180/π = rθ. Ainsi, la formule de la longueur d’arc d’un cercle est θ fois le rayon d’un cercle, si l’angle est en radians.
Formule de la longueur d’arc en degrés
La formule de la longueur d’arc peut être exprimée comme suit : Longueur d’arc, L = θ × r, lorsque θ est en radians ; Longueur d’arc, L = θ × (π/180) × r, lorsque θ est en degrés, où, L = Longueur d’un arc θ = Angle central de l’arc r = Rayon du cercle
Comment Trouver la Longueur d’un Arc d’une Courbe ?
Comment Trouver la Longueur d’un Arc Avec le Rayon et l’Angle Central ?
La longueur d’un arc d’un cercle peut être calculée avec le rayon et l’angle central en utilisant la formule de la longueur d’un arc :
Longueur d’un Arc = θ × r, où θ est en radians.
Longueur d’un Arc = θ × (π/180) × r, où θ est en degrés.
Comment Trouver la Longueur d’un Arc Sans le Rayon ?
La longueur d’un arc d’un cercle peut être calculée sans le rayon en utilisant :
L’angle central et l’aire du secteur :
La formule de l’aire du secteur est, (θ/360º) × πr2, si θ est en degrés (ou) (1/2) r2θ, si θ est en radians.
Utilisez cette formule pour résoudre pour le rayon ‘r’. Nous devons utiliser la racine carrée dans ce processus.
Ensuite, trouvez la longueur de l’arc en utilisant la formule appropriée.
Exemple : Calculer la longueur de l’arc d’une courbe avec une aire de secteur de 25 unités carrées et un angle central de 2 radians.
Nous avons,
- Aire du secteur = 25 unités
- Angle central = 2 radians
- Étape 1 : Aire du secteur = 25 ⇒ (1/2) r2(2) = 25
- Étape 2 : Cela donne r2 = 25. En prenant la racine carrée des deux côtés, r = 5.
- Étape 3 : Longueur de l’arc = rθ = 5 × 2 = 10 unités
- Ainsi, la longueur de l’arc est de 10 unités.
L’angle central et la longueur de la corde :
La formule de la longueur de la corde est, 2r sin (θ/2).
Utilisez cette formule pour résoudre pour le rayon ‘r’.
Ensuite, il est facile de trouver la longueur de l’arc en utilisant la formule appropriée.
Exemple : Calculer la longueur de l’arc d’une courbe, dont les extrémités touchent une corde du cercle mesurant 5 unités. L’angle central sous-tendu par l’arc est de 2 radians.
Source de référence : https://en.wikipedia.org/wiki/Arc_length
Comment trouver la longueur de l’arc sans l’angle central?
Utilisation du rayon et de l’aire du secteur:
Remplacez les valeurs du rayon et de l’aire du secteur dans la formule de l’aire du secteur.
Résolvez pour l’angle central.
Calculer la longueur de l’arc.
Exemple:
Calculer la longueur de l’arc d’une courbe avec une aire de secteur de 25 unités carrées et un rayon de 2 unités.
Nous avons:
- Aire du secteur = 25 unités
- Angle central = 2 unités
Étape 1: Aire du secteur = 25 ⇒ (1/2) (2)2θ = 25.
Étape 2: En résolvant l’équation ci-dessus, nous obtenons θ = 12,5 radians.
Étape 3: Longueur de l’arc = rayon × angle central = 2 × 12,5 = 25 unités
Ainsi, la longueur de l’arc = 25 unités
Utilisation du rayon et de la longueur de la corde:
Remplacez les valeurs du rayon et de la longueur de la corde dans la formule de la longueur de la corde.
Ensuite, résolvez pour l’angle central.
Calculez la longueur de l’arc.
Exemple:
Calculer la longueur de l’arc d’une courbe, dont les extrémités touchent une corde du cercle mesurant 3 unités. Le rayon du cercle est de 2 unités.
Nous avons:
- Longueur de la corde = 3 unités
- Angle central = 2 unités
Étape 1: Longueur de la corde = 3 ⇒ 2(2) sin (θ/2) = 3
Étape 2: En résolvant ceci, nous obtenons: sin (θ/2) = 0,75 ⇒ θ/2 = sin-1(0,75) = 0,848 ⇒ θ = 1,696.
Étape 3: Longueur de l’arc = rayon × angle central = 2 × 1,696 = 3,392 unités
Ainsi, la longueur de l’arc = 3,392 unités
Qu’est-ce qu’un arc de cercle ?
Un arc de cercle est défini comme la longueur d’une partie de sa circonférence qui se trouve entre deux points sur celle-ci. En d’autres termes, un arc de cercle est une partie de la circonférence. L’angle sous-tendu par un arc en tout point est l’angle formé entre les deux segments de droite reliant ce point aux extrémités de l’arc.
Quelle est la formule de la longueur d’un arc de cercle ?
La formule de la longueur d’un arc de cercle implique son rayon (r) et l’angle central (θ). Elle est représentée par L et est calculée par :
- La formule L = rθ × (π/180) si θ est en degrés
- La formule L = rθ si θ est en radians
Comment trouver la longueur d’un arc sans connaître le rayon ?
Pour trouver la longueur d’un arc, nous avons besoin du rayon du cercle et de l’angle central. Mais lorsque le rayon n’est pas donné, il est possible que la superficie du secteur ou la longueur de la corde soit donnée. Utilisez les formules suivantes pour résoudre le rayon et ensuite appliquer la formule de la longueur d’arc :
- Superficie du secteur = (θ/360º) × πr2, si θ est en degrés (ou) (1/2) r2θ
- Longueur de la corde = 2r sin (θ/2)
Que signifie l’équation de la longueur de l’arc ?
Il existe deux équations associées à la longueur de l’arc. Voici les deux équations de la longueur de l’arc :
- Longueur de l’arc = θ × r, où θ est en radians.
- Longueur de l’arc = rθ × (π/180), où θ est en degrés.
Comment calculer la longueur d’un arc en utilisant les radians ?
La longueur d’un arc peut être calculée lorsque l’angle central est donné en radians en utilisant la formule de l’arc d’un cercle : Longueur d’arc = θ × r, lorsque θ est en radians.
L = Longueur d’arc
θ = Angle central de l’arc
r = Rayon du cercle
Est-ce que la longueur d’arc doit être en radians ?
Non, la longueur d’arc ne peut pas être en radians. C’est une mesure de distance, donc elle ne peut pas être en radians. L’angle central sous-tendu au centre peut être en radians, degrés, ou arcsecondes en conséquence.
Comment trouver la circonférence d’un arc ?
Lorsque la longueur d’arc (L) est donnée avec l’angle central θ, alors la circonférence (C) est calculée en utilisant l’équation L / C = θ/360º.
Quelle est la longueur d’un arc majeur en utilisant la formule de longueur d’arc ?
Un arc majeur dans un cercle est plus grand qu’un demi-cercle. Son angle central est supérieur à 180°. En utilisant la formule ℓ = rθ, nous pouvons trouver la longueur d’un arc d’un cercle, où θ est en radians.
