La propriété de produit nul est appliquée pour trouver la valeur individuelle d’un facteur. Si une expression satisfait la propriété de produit nul, alors elle est égale à zéro, et elle a des solutions. La satisfaction de cette propriété signifie qu’un côté du symbole égal représente une expression qui est un produit de facteurs et de l’autre côté, elle est égale à zéro.
La propriété de produit nul s’applique aux équations algébriques, mais pas aux matrices ou aux vecteurs. Voyons cela plus en détail à travers des exemples.
Qu’est-ce que la propriété de produit nul ?
La propriété de produit nul a un côté de l’expression égal à zéro et l’autre côté est le produit de deux ou plusieurs facteurs. Cette propriété s’applique à la multiplication en algèbre, aux matrices et aux vecteurs. La propriété de produit nul indique que si le produit de deux ou plusieurs facteurs est égal à zéro, alors au moins l’un des facteurs est égal à 0 (car sinon, le produit ne sera pas égal à 0). Cela signifie :
- Si (x + a)(x + b)(x + c)….(x + n) = 0 ⇒ x + a = 0 (ou) x + b = 0 (ou) …. (x + n) = 0
- Plus d’un facteur peut être égal à zéro pour que le produit soit égal à 0.
La propriété de produit nul peut être étendue à plusieurs facteurs et ressemblera à ceci :
(x + a)(x + b)(x + c)….(x + n) = 0 ⇒ x + a = 0 (ou) x + b = 0 (ou) …. (x + n) = 0
Application de la propriété de produit nul aux équations
La propriété de produit nul pour les équations est utile pour résoudre l’équation et trouver les valeurs des variables. L’expression algébrique suivant la propriété de produit nul a des facteurs et peut également être résolue pour trouver les valeurs des variables. La propriété de produit nul est très utile pour résoudre les équations quadratiques qui sont sous forme factorisée. Par exemple, si (x + p)(x + q) = 0, alors en utilisant la propriété de produit nul, on peut dire que x + p = 0 ou x + q = 0 et en résolvant chacun de ces équations pour x, on obtiendra les solutions de l’équation quadratique donnée.
De même, la propriété de produit nul peut être appliquée aux équations polynomiales. Par exemple, si x(x + 1)(x + 2) = 0, alors en appliquant la propriété de produit nul, on peut dire que x = 0 (ou) x + 1 = 0 (ou) x + 2 = 0, ce qui donne x = 0, -1 et -2 comme racines.
Limitations de la propriété de produit nul
Il est important de noter que la propriété de produit nul ne peut pas être appliquée aux matrices et aux vecteurs.
La propriété du produit nul en algèbre
La propriété du produit nul a une expression dont un côté est égal à zéro et l’autre côté est le produit de deux ou plusieurs facteurs. Cette propriété s’applique à la multiplication en algèbre, en matrices et pour les vecteurs. La propriété du produit nul dit que si le produit de deux ou plusieurs facteurs est égal à zéro, alors au moins l’un des facteurs est égal à 0 (sinon, le produit ne sera pas égal à 0). Autrement dit, si (x + a)(x + b)(x + c)….(x + n) = 0, alors x + a = 0 (ou) x + b = 0 (ou) …. (x + n) = 0. Notez que plus d’un des facteurs peut également être égal à zéro pour que le produit soit égal à zéro. Cette propriété ne peut pas être appliquée aux matrices et aux vecteurs.
La propriété du produit nul dans les équations
La propriété du produit nul pour les équations est utile pour résoudre l’équation et trouver les valeurs des variables. L’expression algébrique suivant la propriété du produit nul a des facteurs et peut également être résolue pour trouver les valeurs des variables. La propriété du produit nul est très utile pour résoudre les équations quadratiques qui sont sous forme factorisée. Par exemple, si (x + p) (x + q) = 0, alors en appliquant la propriété du produit nul, on peut dire que x + p = 0 ou x + q = 0 et la résolution de chacune de ces équations donnerait les solutions de l’équation quadratique donnée.
De même, la propriété du produit nul peut être appliquée aux équations polynomiales. Par exemple, si x(x + 1)(x + 2) = 0, alors en appliquant la propriété du produit nul, on a x = 0 (ou) x + 1 = 0 (ou) x + 2 = 0, ce qui donne x = 0, -1 et -2 comme racines.
La propriété du produit nul dans les matrices
La propriété du produit nul n’est pas applicable aux matrices. Autrement dit, bien que le produit de deux matrices soit une matrice nulle, il n’est pas obligatoire qu’une des matrices soit une matrice nulle. Par conséquent, la propriété du produit nul ne peut pas être appliquée à la multiplication de matrices. Considérons l’exemple suivant. Soient A = (\left [ {\begin {array} {cc} 0 & 1 \ \ 0 & 0 \ \end {array} } \right]) et B = (\left [ {\begin {array} {cc} 0 & 0 \ \ 0 & 1 \ \end {array} } \right]). Nous pouvons vérifier que AB = O.
AB = (\left [ {\begin {array} {cc} 0 & 1 \ \ 0 & 0 \ \end {array} } \right] ) (\left
Propriété de produit nul dans les vecteurs
Sachez que la propriété de produit nul ne peut être appliquée aux vecteurs. Lorsque le produit scalaire ou le produit vectoriel de deux vecteurs est égal à 0, cela ne signifie pas qu’au moins l’un des vecteurs est un vecteur nul. Considérons les exemples suivants:
Exemple 1
Prenons a = i + j et b = i – j, alors a · b = (i + j) · (i – j) = 1 – 1 = 0. Cependant, ni a ni b n’est un vecteur nul.
Exemple 2
Nous savons que i × i = 0, mais dans ce cas, aucun des vecteurs n’est un vecteur nul. En fait, i est un vecteur unitaire.
Mérites et défauts de la propriété de produit nul
La propriété de produit nul a des avantages et des inconvénients importants. Elle est applicable pour trouver les valeurs des variables dans une équation algébrique en fixant chacun des facteurs à 0. Cependant, pour résoudre une équation en utilisant la propriété de produit nul, il est important de connaître le processus de factorisation des expressions.
Il est important de noter que la propriété de produit nul ne peut pas être appliquée aux matrices ou aux vecteurs.
Source de référence : https://en.wikipedia.org/wiki/Zero-product_property
Qu’est-ce que la propriété de produit nul en algèbre?
La propriété de produit nul en algèbre s’applique aux équations quadratiques et polynomiales. Cette propriété indique que pour deux expressions ‘a’ et ‘b’, si a × b = 0, alors soit a = 0, soit b = 0. Cette propriété est utile pour résoudre les équations quadratiques, cubiques, etc., après la factorisation.
Comment appliquer la propriété de produit nul?
La propriété de produit nul peut être appliquée lorsque le produit des expressions est égal à zéro. Cette propriété permet d’égaliser les facteurs individuels de l’expression à zéro et de résoudre ensuite l’équation.
La propriété de produit nul peut-elle être appliquée partout en mathématiques?
Non, la propriété de produit nul s’applique uniquement pour résoudre les équations algébriques. Elle ne s’applique ni aux matrices ni aux vecteurs.
Quelle est l’utilité de la propriété de produit nul?
La propriété de produit nul est utile pour trouver les racines d’une équation polynomiale. Cependant, pour appliquer cette propriété, nous devons factoriser la partie gauche de l’équation polynomiale et rendre la partie droite égale à 0.
