Racine Carrée – Formule, Exemples

La racine carrée d’un nombre est l’opération inverse de l’élevation au carré d’un nombre. Le carré d’un nombre est la valeur obtenue en multipliant le nombre par lui-même, tandis que la racine carrée d’un nombre est obtenue en trouvant un nombre qui, lorsqu’il est élevé au carré, donne le nombre d’origine.
Si ‘a’ est la racine carrée de ‘b’, cela signifie que a × a = b. Le carré de n’importe quel nombre est toujours un nombre positif, donc chaque nombre a deux racines carrées, l’une avec une valeur positive et l’autre avec une valeur négative. Par exemple, à la fois 2 et -2 sont des racines carrées de 4. Cependant, dans la plupart des endroits, seule la valeur positive est écrite comme la racine carrée d’un nombre.

Qu’est-ce que la Racine Carrée?

La racine carrée d’un nombre est ce facteur d’un nombre qui, lorsqu’il est multiplié par lui-même, donne le nombre d’origine. Les carrés et les racines carrées sont des exposants spéciaux. Prenons l’exemple du nombre 9. Lorsque 3 est multiplié par lui-même, il donne 9 comme produit. Cela peut être écrit comme 3 × 3 ou 32. Ici, l’exposant est 2, et nous l’appelons un carré. Maintenant, lorsque l’exposant est 1/2, il fait référence à la racine carrée du nombre. Par exemple, √n = n1/2, où n est un entier positif.

Définition de la Racine Carrée

La racine carrée d’un nombre est la valeur à l’exposant 1/2 de ce nombre. En d’autres termes, c’est le nombre dont le produit par lui-même donne le nombre d’origine. Elle est représentée à l’aide du symbole ‘√’. Le symbole de la racine carrée s’appelle un radical, tandis que le nombre sous le symbole de la racine carrée s’appelle le radicande.

Comment Trouver la Racine Carrée?

Pour trouver la racine carrée d’un nombre, nous cherchons simplement quel nombre, lorsqu’il est élevé au carré, donne le nombre réel. Il est très facile de trouver la racine carrée d’un nombre qui est un carré parfait. Les carrés parfaits sont ces nombres positifs qui peuvent être exprimés comme le produit d’un nombre par lui-même. En d’autres termes, les carrés parfaits sont des nombres qui sont exprimés comme la valeur à l’exposant 2 de n’importe quel entier. Nous pouvons utiliser quatre méthodes pour trouver la racine carrée des nombres, et ces méthodes sont les suivantes:

Méthode de Soustraction Répétée

C’est une méthode très simple. Nous soustrayons les nombres impairs consécutifs du nombre pour lequel nous cherchons la racine carrée, jusqu’à atteindre 0. Le nombre de fois que nous soustrayons est la racine carrée du nombre donné. Cette méthode fonctionne uniquement pour les nombres carrés parfaits. Prenons l’exemple de la racine carrée de 16 en utilisant cette méthode:

• 16 – 1 = 15
• 15 – 3 = 12
• 12 – 5 = 7
• 7 – 7 = 0

Vous pouvez observer que nous avons soustrait 4 fois. Ainsi, √16 = 4

Méthode de Racine Carrée par Factorisation en Nombres Premiers

La factorisation en nombres premiers d’un nombre consiste à représenter ce nombre comme un produit de nombres premiers. Pour trouver la racine carrée d’un nombre donné en utilisant la méthode de factorisation en nombres premiers, nous suivons les étapes suivantes:

• Étape 1: Diviser le nombre donné en ses facteurs premiers.
• Étape 2: Former des paires de facteurs de telle sorte que les deux facteurs de chaque paire soient égaux.
• Étape 3: Prendre un facteur de la paire.
• Étape 4: Calculer le produit des facteurs obtenus en prenant un facteur de chaque paire.
• Étape 5: Le produit ainsi obtenu est la racine carrée du nombre donné.

Prenons l’exemple de la racine carrée de 144 en utilisant cette méthode.

Méthode de Racine Carrée par Estimation

L’estimation et l’approximation permettent de faire une estimation raisonnable de la valeur réelle pour faciliter les calculs. Cette méthode aide à estimer et à approximer la racine carrée d’un nombre donné. Prenons l’exemple de trouver √15 en utilisant cette méthode. Trouvons le nombre carré parfait le plus proche de 15, qui est 9 et 16. Nous savons que √16 = 4 et √9 = 3. Cela implique que √15 se situe entre 3 et 4. Maintenant, nous devons voir si √15 est plus proche de 3 ou de 4. Prenons 3,5 et 4 en considération. Puisque 3,52 = 12,25 et 42 = 16. Ainsi, √15 se situe entre 3,5 et 4 et est plus proche de 4.

Recherchons maintenant les carrés de 3,8 et 3,9. Puisque 3,82 = 14,44 et 3,92 = 15,21. Cela implique que √15 se situe entre 3,8 et 3,9. Nous pouvons répéter le processus et vérifier entre 3,85 et 3,9. Nous pouvons observer que √15 = 3,872.

Ceci est un processus long et chronophage.

Calcul de la racine carrée par la méthode de la division longue

La division longue est une méthode pour diviser de grands nombres en étapes ou en parties, en divisant le problème de division en une séquence d’étapes plus faciles. Nous pouvons trouver la racine carrée exacte de n’importe quel nombre donné en utilisant cette méthode. Commençons par comprendre le processus de calcul de la racine carrée par la méthode de la division longue avec un exemple. Trouvons la racine carrée de 180.

• Étape 1 : Placez une barre sur chaque paire de chiffres du nombre en commençant par le chiffre des unités (du côté le plus à droite). Nous aurons deux paires, c’est-à-dire 1 et 80.
• Étape 2 : Divisez le chiffre le plus à gauche par le plus grand nombre dont le carré est inférieur ou égal au nombre dans la paire la plus à gauche.
• Étape 3 : Abaissez le nombre sous la barre suivante à droite du reste. Ajoutez le dernier chiffre du quotient au diviseur. À droite de la somme obtenue, trouvez un nombre approprié qui, combiné avec le résultat de la somme, forme un nouveau diviseur pour le nouveau dividende qui est abaissé.
• Étape 4 : Le nouveau chiffre dans le quotient aura le même chiffre que celui sélectionné dans le diviseur. La condition est la même, c’est-à-dire qu’il est soit inférieur ou égal au dividende.
• Étape 5 : Maintenant, nous continuerons ce processus en utilisant un point décimal et en ajoutant des zéros par paires au reste.
• Étape 6 : Le quotient ainsi obtenu sera la racine carrée du nombre. Ici, la racine carrée de 180 est approximativement égale à 13,4 et plus de chiffres après la virgule peuvent être obtenus en répétant le même processus comme suit.

Tableau des racines carrées

Le tableau des racines carrées se compose de nombres et de leurs racines carrées. Il est utile pour trouver les carrés des nombres également. Voici la liste des racines carrées des nombres carrés parfaits et de certains nombres non carrés parfaits de 1 à 10 :

Nombre	Racine Carrée
1	1
2	1.414
3	1.732
4	2
5	2.236
6	2.449
7	2.646
8	2.828
9	3
10	3.162

Les nombres qui ne sont pas des carrés parfaits sont des nombres irrationnels.

Formule de la racine carrée

La racine carrée d’un nombre a un exposant de 1/2. La formule de la racine carrée est utilisée pour trouver la racine carrée d’un nombre. Nous connaissons la formule de l’exposant : √[n](x) = x^(1/n). Quand n = 2, on l’appelle racine carrée. Nous pouvons utiliser l’une des méthodes ci-dessus pour trouver la racine carrée, comme la factorisation des nombres premiers, et ainsi de suite. 9^(1/2) = √9 = √(3×3) = 3. Ainsi, la formule pour écrire la racine carrée d’un nombre est √x = x^(1/2).

Simplification de la Racine Carrée

Pour simplifier une racine carrée, il faut trouver la factorisation en nombres premiers du nombre donné. Si un facteur n’a pas de paire, il reste sous le symbole de la racine carrée, sinon, on prend un nombre hors de la racine carrée de chaque paire. Par exemple: √12 = √(2 × 2 × 3) = 2√3. Cela est dû à la règle de simplification de la racine carrée: √xy = √(x × y), où x et y sont des entiers positifs.

Pour les fractions, il existe également une règle similaire: √x/√y = √(x/y). Par exemple: √50/√10 = √(50/10)= √5

Racine Carrée d’un Nombre Négatif

La racine carrée d’un nombre négatif ne peut pas être un nombre réel, car un carré est soit un nombre positif, soit zéro. Mais les nombres complexes ont des solutions pour la racine carrée d’un nombre négatif. La racine carrée principale de -x est: √(-x) = i√x. Ici, i est la racine carrée de -1.

Par exemple: Prenons un nombre carré parfait comme 16. Maintenant, voyons la racine carrée de -16. Il n’y a pas de racine carrée réelle de -16. √(-16) = √16 × √(-1) = 4i (car √(-1) = i), où ‘i’ est représenté comme la racine carrée de -1. Ainsi, 4i est une racine carrée de -16.

Carré d’un Nombre

N’importe quel nombre élevé à l’exposant deux (y2) est appelé le carré de la base. Ainsi, 52 ou 25 est appelé le carré de 5, tandis que 82 ou 64 est appelé le carré de 8. On peut facilement trouver le carré d’un nombre en le multipliant deux fois. Par exemple, 52 = 5 × 5 = 25, et 82 = 8 × 8 = 64. Lorsque l’on trouve le carré d’un nombre entier, le résultat est toujours un carré parfait. Certains des carrés parfaits que nous avons sont 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, etc. Le carré d’un nombre est toujours un nombre positif.

Comment Trouver le Carré d’un Nombre ?

Le carré d’un nombre peut être trouvé en multipliant un nombre par lui-même. Pour les nombres à un seul chiffre, nous pouvons utiliser les tables de multiplication pour trouver le carré, tandis que dans le cas de nombres à deux chiffres ou plus, nous effectuons la multiplication du nombre par lui-même pour obtenir la réponse. Par exemple, 9 × 9 = 81, où 81 est le carré de 9. De même, 3 × 3 = 9, où 9 est le carré de 3.

Le carré d’un nombre est écrit en élevant l’exposant à 2. Par exemple, le carré de 3 est écrit comme 32 et se lit comme « 3 au carré ». Voici quelques exemples :

Exemples :

4² = 4 × 4 = 16

(-6)² = -6 × -6 = 36

(5/3)² = 5/3 × 5/3 = 25/9

Carrés et Racines Carrées

Il existe une relation très forte entre les carrés et les racines carrées, car chacun d’entre eux est l’inverse de l’autre. C’est-à-dire, si x2 = y, alors x = √y. On peut simplement s’en souvenir de la manière suivante :

Quand on retire le « carré » d’un côté de l’équation, on obtient la racine carrée de l’autre côté. Par exemple, 42 = 16 signifie que 4 = √16. Cela est également connu sous le nom de « prendre la racine carrée des deux côtés ».

Quand on retire la « racine carrée » d’un côté de l’équation, on obtient le carré de l’autre côté. Par exemple, √25 = 5 signifie que 25 = 52. Cela est également connu sous le nom de « mettre au carré des deux côtés ».

Cette logique aide à résoudre de nombreuses équations en algèbre. Prenons l’exemple suivant .

Solution : En mettant les deux côtés de l’équation au carré, on annule la racine carrée du côté gauche.

2x + 3 = 102

2x + 3 = 100

2x = 97

x = 97/2 = 48.5

Voici quelques autres différences entre les carrés et les racines carrées.

Exemple :

72 = 49

√49 = 7

Symbol :

Carré : Exposant (^)

Racine carrée : (√)

Résultat :

Le carré est toujours positif.

La racine carrée peut être positive ou négative.

Domaine :

Le carré peut être appliqué à tous les nombres réels.

La racine carrée est définie pour tous les nombres réels non-négatifs.

Inverse :

L’inverse du carré est la racine carrée.

L’inverse de la racine carrée est le carré.

Racine Carrée des Nombres

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Qu’est-ce que la Racine Carrée en Mathématiques ?

La racine carrée d’un nombre est un nombre qui, lorsqu’il est multiplié par lui-même, donne le nombre d’origine. Par exemple, 2 est la racine carrée de 4, et cela s’exprime comme √4 = 2. Cela signifie que lorsque 2 est multiplié par 2, cela donne 4, et cela peut être vérifié comme 2 × 2 = 4.

Comment Calculer la Racine Carrée d’un Nombre ?

Il est très facile de trouver la racine carrée d’un nombre qui est un carré parfait. Par exemple, 9 est un carré parfait, 9 = 3 × 3. Donc, 3 est la racine carrée de 9 et cela peut être exprimé comme √9 = 3. La racine carrée de n’importe quel nombre, en général, peut être trouvée en utilisant l’un des quatre méthodes suivantes :

• Méthode de Soustraction Répétée
• Méthode de Factorisation en Nombres Premiers
• Méthode d’Estimation et d’Approximation
• Méthode de Division Longue

La Racine Carrée Peut-elle être Négative ?

Oui, la racine carrée d’un nombre peut être négative. En fait, tous les carrés parfaits comme 4, 9, 25, 36, etc. ont deux racines carrées, l’une est une valeur positive et l’autre est une valeur négative. Par exemple, les racines carrées de 4 sont -2 et 2. Pour vérifier cela, nous pouvons voir que (-2) × (-2) = 4. De même, les racines carrées de 9 sont 3 et -3.

Comment Trouver la Racine Carrée d’un Nombre Décimal ?

La racine carrée d’un nombre décimal peut être trouvée en utilisant la méthode d’estimation ou la méthode de division longue. Dans le cas des nombres décimaux, nous formons des paires de parties entières et de parties fractionnaires séparément. Ensuite, nous effectuons le processus de division longue de la même manière que pour n’importe quel autre nombre entier.

Qu’est-ce que le Symbole de la Racine Carrée ?

Le symbole utilisé pour représenter la racine carrée est appelé le signe radical ‘√ ‘. Le terme écrit à l’intérieur du signe radical est appelé le radicande.

Comment Multiplier Deux Valeurs de Racine Carrée Ensemble ?

Prenons deux nombres a et b. Tout d’abord, nous trouverons la racine carrée des nombres a et b. Ensuite, après avoir trouvé la racine carrée, nous multiplierons les valeurs des racines carrées ensemble. Illustrons ceci avec un exemple concret. Par exemple, multiplions √4 × √16. La racine carrée de 4 est 2 (√4 = 2) et la racine carrée de 16 est 4 (√16 = 4). Maintenant, nous allons multiplier la valeur de la racine carrée de 4 et 16, c’est-à-dire 2 × 4 = 8. Alternativement, nous pouvons appliquer la propriété des racines carrées, √a × √b = √ab.

Quelle est la Formule pour Calculer la Racine Carrée d’un Nombre ?

La racine carrée de n’importe quel nombre peut être exprimée en utilisant la formule : √y = y½. En d’autres termes, si un nombre a 1/2 comme exposant, cela signifie que nous devons trouver la racine carrée du nombre.

Qu’est-ce que le Carré et la Racine Carrée d’un Nombre ?

Le carré d’un nombre est le produit que nous obtenons en multipliant un nombre par lui-même. Par exemple, 6 × 6 = 36. Ici, 36 est le carré de 6. La racine carrée d’un nombre est ce facteur du nombre et lorsqu’il est multiplié par lui-même, le résultat est le nombre original. Maintenant, si nous voulons trouver la racine carrée de 36, c’est-à-dire √36, nous obtenons la réponse comme, √36 = 6. Ainsi, nous pouvons voir que le carré et la racine carrée d’un nombre sont des opérations inverses l’une de l’autre.

Quelle Méthode est Utilisée pour Trouver la Racine Carrée des Nombres non Parfaits ?

En Mathématiques, un nombre non parfait ou un carré imparfait est considéré comme un nombre dont la racine carrée ne peut pas être trouvée comme un entier ou une fraction d’entiers. La racine carrée d’un nombre non parfait peut être calculée en utilisant la méthode de la division longue.

Comment Trouver la Racine Carrée sur une Calculatrice ?

Pour trouver la valeur de la racine carrée de n’importe quel nombre sur une calculatrice, il suffit de taper le nombre pour lequel nous voulons la racine carrée, puis d’insérer le symbole de la racine carrée √ dans la calculatrice. Par exemple, si nous avons besoin de trouver la racine carrée de 81, nous devons taper 81 dans la calculatrice, puis appuyer sur le symbole √ pour obtenir sa racine carrée. Nous obtiendrons √81 = 9.

Quelles sont les Applications de la Formule de la Racine Carrée ?

Il existe diverses applications de la formule de la racine carrée :

Qu’est-ce que le Carré d’un Nombre ?

Le produit que nous obtenons en multipliant un nombre par lui-même est le carré du nombre. Par exemple, 5 × 5 = 25. Ici, 25 est le carré de 5 et cela peut aussi s’écrire comme 52 = 25.

Comment Calculer la Racine Carrée d’un Nombre Négatif ?

Il faut noter que la racine carrée d’un nombre négatif n’est pas un nombre réel. C’est un nombre imaginaire. Par exemple, √(-4) = √(-1) × √4 = i (2) = 2i, où ‘i’ est connu sous le nom de « iota » et i2 = -1 (ou) i = √(-1).

Pourquoi le Carré d’un Nombre Négatif est-il Positif ?

Le carré d’un nombre négatif est positif parce que lorsque deux nombres négatifs sont multipliés, cela donne toujours un nombre positif. Par exemple, (-4) × (-4) = 16.